《2025年快乐暑假天天练八年级数学》

四、思考并解答
【问题情境】
如图 1, 四边形 $A B C D$ 是正方形, $M$ 是 $B C$ 边上的一点, $E$ 是 $C D$ 边上的中点, $A E$ 平分 $\angle D A M$.
【探究展示】
1. 证明: $A M= A D+M C$.
2. $A M= D E+B M$ 是否成立? 若成立, 请给出证明; 若不成立, 请说明理由.
【拓展延伸】
3. 若四边形 $A B C D$ 是长与宽不相等的矩形, 其他条件不变, 如图 2,【探究展示】1、2 中的结论是否成立, 请分别作出判断, 不需要证明.

答案： 【解析】：
1. 过点$E$作$EF\perp AM$，垂足为$F$，连接$EM$。
因为$AE$平分$\angle DAM$，$EF\perp AM$，$ED\perp AD$，根据角平分线的性质可得$EF = ED$。
又因为$E$是$CD$中点，所以$ED = EC$，则$EF = EC$。
在$Rt\triangle EFM$和$Rt\triangle ECM$中，$\left\{\begin{array}{l}EF = EC\\ EM = EM\end{array}\right.$，根据$HL$定理可得$Rt\triangle EFM\cong Rt\triangle ECM$，所以$FM = MC$。
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle AFE$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = AE\\ ED = EF\end{array}\right.$，根据$HL$定理可得$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle AFE$，所以$AD = AF$。
因为$AM = AF + FM$，所以$AM = AD + MC$。
2. 延长$CB$至点$H$，使$BH = DE$，连接$AH$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle ABH=\angle ADE = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABH$和$\triangle ADE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\\angle ABH=\angle ADE\\ BH = DE\end{array}\right.$，根据$SAS$定理可得$\triangle ABH\cong\triangle ADE$，所以$\angle BAH=\angle DAE$，$\angle H=\angle AED$。
因为$AB// CD$，所以$\angle BAE=\angle AED$。
又因为$\angle DAE=\angle EAM$，所以$\angle BAH=\angle EAM$，则$\angle HAE=\angle BAM$。
因为$\angle BAM=\angle AMB$（$AB// CD$，内错角相等），所以$\angle H=\angle AMH$，所以$AH = AM$。
因为$AH = AB + BH$，$AB = AD$，$BH = DE$，所以$AM = DE + BM$。
3. 对于矩形$ABCD$：
结论$AM = AD + MC$仍然成立（证明方法同正方形情况，利用角平分线性质和全等三角形）。
结论$AM = DE + BM$不成立（因为矩形邻边不相等，通过上述全等和角度推导无法得出该结论）。
【答案】：
1. 证明过程如上述解析，证得$AM = AD + MC$。
2. 成立，证明过程如上述解析，证得$AM = DE + BM$。
3. $AM = AD + MC$成立；$AM = DE + BM$不成立。