《2025年快乐暑假天天练八年级数学》

1. (1)先化简,再求值：$\frac {x^{2}-2x}{x^{2}-1}÷(\frac {x}{x+1}-\frac {2}{x+1})$,其中$x= 2022^{0}+2^{-1}$。
(2)解方程：$\frac {3}{x-2}= \frac {2}{x}+\frac {6}{x^{2}-2x}$。

答案： 【解析】：
(1)
首先化简$\frac {x^{2}-2x}{x^{2}-1}\div(\frac {x}{x + 1}-\frac {2}{x + 1})$：
对括号内进行计算，$\frac {x}{x + 1}-\frac {2}{x + 1}=\frac{x - 2}{x + 1}$。
则原式变为$\frac {x^{2}-2x}{x^{2}-1}\div\frac{x - 2}{x + 1}$，根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，即$\frac {x^{2}-2x}{x^{2}-1}\times\frac{x + 1}{x - 2}$。
对分子分母进行因式分解，$x^{2}-2x=x(x - 2)$，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，那么$\frac {x(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)}\times\frac{x + 1}{x - 2}=\frac{x}{x - 1}$。
然后计算$x = 2022^{0}+2^{-1}$的值：
根据零指数幂$a^{0}=1(a\neq0)$，可得$2022^{0}=1$；根据负指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a\neq0)$，可得$2^{-1}=\frac{1}{2}$，所以$x = 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
最后把$x=\frac{3}{2}$代入$\frac{x}{x - 1}$得：$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$。
(2)
方程$\frac {3}{x - 2}=\frac {2}{x}+\frac {6}{x^{2}-2x}$，先对分母进行因式分解，$x^{2}-2x=x(x - 2)$。
方程两边同时乘以$x(x - 2)$去分母得：$3x=2(x - 2)+6$。
去括号得：$3x = 2x-4 + 6$。
移项得：$3x-2x=-4 + 6$。
合并同类项得：$x = 2$。
检验：当$x = 2$时，$x(x - 2)=2\times(2 - 2)=0$，所以$x = 2$是增根，原方程无解。
【答案】：
(1)化简结果为$\frac{x}{x - 1}$，值为$3$；
(2)无解。

2. 观察下列各等式：$\frac {1}{1×2}= \frac {1}{1}-\frac {1}{2}$,$\frac {1}{2×3}= \frac {1}{2}-\frac {1}{3}$,$\frac {1}{3×4}= \frac {1}{3}-\frac {1}{4}$,…,根据你发现的规律,计算下列各式。
(1)$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+... +\frac {1}{n×(n+1)}$($n$为正整数)；
(2)$\frac {1}{x(x+3)}+\frac {1}{(x+3)(x+6)}+... +\frac {1}{(x+2019)(x+2022)}$。

答案：
(1)$\frac{n}{n + 1}$；
(2)$\frac{674}{x(x + 2022)}$。

3. 如图,平面内有三点$A$,$B$,$C$,$AB= 4$,$AC= 3$。以$BC为对角线作正方形BDCE$,连接$AD$。求$AD$的最大值。

答案： $\frac{7\sqrt{2}}{2}$