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3. 已知$\frac {1}{x}-\frac {1}{y}= 3$,求分式$\frac {2x+3xy-2y}{x-2xy-y}$的值.
答案：
【解析】：本题可先对已知条件$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$进行变形，然后将变形后的式子代入所求分式进行化简求值。
- **步骤一：对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$进行变形。**
对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$进行通分，可得$\frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y - x}{xy}$。
所以$\frac{y - x}{xy} = 3$，即$y - x = 3xy$，那么$x - y = -3xy$。
- **步骤二：将$x - y = -3xy$代入$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$进行化简求值。**
对$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$进行变形可得$\frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - 2xy}$。
把$x - y = -3xy$代入上式可得：
$\frac{2\times(-3xy) + 3xy}{-3xy - 2xy}=\frac{-6xy + 3xy}{-5xy}=\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$
【答案】：$\frac{3}{5}$
- **步骤一：对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$进行变形。**
对$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$进行通分，可得$\frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y - x}{xy}$。
所以$\frac{y - x}{xy} = 3$，即$y - x = 3xy$，那么$x - y = -3xy$。
- **步骤二：将$x - y = -3xy$代入$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$进行化简求值。**
对$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$进行变形可得$\frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - 2xy}$。
把$x - y = -3xy$代入上式可得：
$\frac{2\times(-3xy) + 3xy}{-3xy - 2xy}=\frac{-6xy + 3xy}{-5xy}=\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$
【答案】：$\frac{3}{5}$
4. 某中学开学初在商场购进 A,B 两种品牌的足球,购买 A 品牌足球花费了 2500 元,购买 B 品牌足球花费了 2000 元,且购买 A 品牌足球的数量是购买 B 品牌足球数量的 2 倍,已知购买一个 B 品牌足球比购买一个 A 品牌足球多花 30 元.
(1)购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的足球各需多少元？
(2)该中学再次购买 A,B 两种品牌的足球共 50 个,恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整,A 品牌足球的售价比第一次购买时提高了 8%,B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售,如果这所中学此次购买 A,B 两种品牌足球的总费用不超过 3260 元,那么该中学此次最多可购买多少个 B 品牌足球？
(1)购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的足球各需多少元？
(2)该中学再次购买 A,B 两种品牌的足球共 50 个,恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整,A 品牌足球的售价比第一次购买时提高了 8%,B 品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售,如果这所中学此次购买 A,B 两种品牌足球的总费用不超过 3260 元,那么该中学此次最多可购买多少个 B 品牌足球？
答案：
【解析】：
1. 设购买一个$A$品牌足球需$x$元，则购买一个$B$品牌足球需$(x + 30)$元。
根据“购买$A$品牌足球的数量是购买$B$品牌足球数量的$2$倍”可列方程：$\frac{2500}{x}=2\times\frac{2000}{x + 30}$。
方程两边同乘$x(x + 30)$去分母得：$2500(x + 30)=2\times2000x$。
展开括号得：$2500x+75000 = 4000x$。
移项得：$4000x-2500x=75000$。
合并同类项得：$1500x = 75000$。
解得：$x = 50$。
经检验，当$x = 50$时，$x(x + 30)=50\times(50 + 30)=50\times80 = 4000\neq0$，所以$x = 50$是原方程的解。
则$x + 30=50 + 30 = 80$（元）。
所以购买一个$A$品牌足球需$50$元，购买一个$B$品牌足球需$80$元。
2. 设该中学此次购买$y$个$B$品牌足球，则购买$(50 - y)$个$A$品牌足球。
$A$品牌足球的售价比第一次购买时提高了$8\%$，则$A$品牌足球的单价为$50\times(1 + 8\%)=50\times1.08 = 54$元；$B$品牌足球按第一次购买时售价的$9$折出售，则$B$品牌足球的单价为$80\times0.9 = 72$元。
根据“购买$A$，$B$两种品牌足球的总费用不超过$3260$元”可列不等式：$54(50 - y)+72y\leqslant3260$。
展开括号得：$2700-54y + 72y\leqslant3260$。
移项得：$72y-54y\leqslant3260 - 2700$。
合并同类项得：$18y\leqslant560$。
解得：$y\leqslant\frac{280}{9}\approx31.11$。
因为$y$为足球个数，应为正整数，所以$y$的最大值为$31$。
【答案】：1. 购买一个$A$品牌足球需$50$元，购买一个$B$品牌足球需$80$元 2. $31$
1. 设购买一个$A$品牌足球需$x$元，则购买一个$B$品牌足球需$(x + 30)$元。
根据“购买$A$品牌足球的数量是购买$B$品牌足球数量的$2$倍”可列方程：$\frac{2500}{x}=2\times\frac{2000}{x + 30}$。
方程两边同乘$x(x + 30)$去分母得：$2500(x + 30)=2\times2000x$。
展开括号得：$2500x+75000 = 4000x$。
移项得：$4000x-2500x=75000$。
合并同类项得：$1500x = 75000$。
解得：$x = 50$。
经检验，当$x = 50$时，$x(x + 30)=50\times(50 + 30)=50\times80 = 4000\neq0$，所以$x = 50$是原方程的解。
则$x + 30=50 + 30 = 80$（元）。
所以购买一个$A$品牌足球需$50$元，购买一个$B$品牌足球需$80$元。
2. 设该中学此次购买$y$个$B$品牌足球，则购买$(50 - y)$个$A$品牌足球。
$A$品牌足球的售价比第一次购买时提高了$8\%$，则$A$品牌足球的单价为$50\times(1 + 8\%)=50\times1.08 = 54$元；$B$品牌足球按第一次购买时售价的$9$折出售，则$B$品牌足球的单价为$80\times0.9 = 72$元。
根据“购买$A$，$B$两种品牌足球的总费用不超过$3260$元”可列不等式：$54(50 - y)+72y\leqslant3260$。
展开括号得：$2700-54y + 72y\leqslant3260$。
移项得：$72y-54y\leqslant3260 - 2700$。
合并同类项得：$18y\leqslant560$。
解得：$y\leqslant\frac{280}{9}\approx31.11$。
因为$y$为足球个数，应为正整数，所以$y$的最大值为$31$。
【答案】：1. 购买一个$A$品牌足球需$50$元，购买一个$B$品牌足球需$80$元 2. $31$
四、思考并解答
假设我们规定$a^{-p}= \frac {1}{a^{p}}(a≠0)$,即 a 的负 p 次幂等于 a 的 p 次幂的倒数,例：$4^{-2}= \frac {1}{4^{2}}$.
1. 计算：$5^{-2}= $____；$(-2)^{-2}= $____.
2. 如果$2^{-p}= \frac {1}{8}$,那么$p= $____；如果$a^{-2}= \frac {1}{16}$,那么$a= $____.
3. 如果$a^{-p}= \frac {1}{9}$,且 a,p 为整数,求满足条件的 a,p 的取值.
假设我们规定$a^{-p}= \frac {1}{a^{p}}(a≠0)$,即 a 的负 p 次幂等于 a 的 p 次幂的倒数,例：$4^{-2}= \frac {1}{4^{2}}$.
1. 计算：$5^{-2}= $____；$(-2)^{-2}= $____.
2. 如果$2^{-p}= \frac {1}{8}$,那么$p= $____；如果$a^{-2}= \frac {1}{16}$,那么$a= $____.
3. 如果$a^{-p}= \frac {1}{9}$,且 a,p 为整数,求满足条件的 a,p 的取值.
答案：
【解析】：
1. 根据$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a\neq0)$，对于$5^{-2}$，这里$a = 5$，$p = 2$，则$5^{-2}=\frac{1}{5^{2}}=\frac{1}{25}$；对于$(-2)^{-2}$，这里$a=-2$，$p = 2$，则$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^{2}}=\frac{1}{4}$。
2. 已知$2^{-p}=\frac{1}{8}$，因为$\frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}} = 2^{-3}$，所以$-p=-3$，则$p = 3$；已知$a^{-2}=\frac{1}{16}$，因为$\frac{1}{16}=\frac{1}{4^{2}}=4^{-2}$，又$(-4)^{-2}=\frac{1}{(-4)^{2}}=\frac{1}{16}$，所以$a=\pm4$。
3. 因为$a^{-p}=\frac{1}{9}$，即$\frac{1}{a^{p}}=\frac{1}{9}$，则$a^{p}=9$。
当$a = 9$时，$p = 1$；
当$a=-9$时，$p = 1$；
当$a = 3$时，$p = 2$；
当$a=-3$时，$p = 2$。
【答案】：1.$\frac{1}{25}$；$\frac{1}{4}$ 2. $3$；$\pm4$ 3. $a = 9$，$p = 1$；$a=-9$，$p = 1$；$a = 3$，$p = 2$；$a=-3$，$p = 2$
1. 根据$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a\neq0)$，对于$5^{-2}$，这里$a = 5$，$p = 2$，则$5^{-2}=\frac{1}{5^{2}}=\frac{1}{25}$；对于$(-2)^{-2}$，这里$a=-2$，$p = 2$，则$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^{2}}=\frac{1}{4}$。
2. 已知$2^{-p}=\frac{1}{8}$，因为$\frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}} = 2^{-3}$，所以$-p=-3$，则$p = 3$；已知$a^{-2}=\frac{1}{16}$，因为$\frac{1}{16}=\frac{1}{4^{2}}=4^{-2}$，又$(-4)^{-2}=\frac{1}{(-4)^{2}}=\frac{1}{16}$，所以$a=\pm4$。
3. 因为$a^{-p}=\frac{1}{9}$，即$\frac{1}{a^{p}}=\frac{1}{9}$，则$a^{p}=9$。
当$a = 9$时，$p = 1$；
当$a=-9$时，$p = 1$；
当$a = 3$时，$p = 2$；
当$a=-3$时，$p = 2$。
【答案】：1.$\frac{1}{25}$；$\frac{1}{4}$ 2. $3$；$\pm4$ 3. $a = 9$，$p = 1$；$a=-9$，$p = 1$；$a = 3$，$p = 2$；$a=-3$，$p = 2$
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