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1. 使式子$\frac {2x+1}{x-1}$有意义的x的取值范围是____.
答案：
$x\neq 1$
2. 若$\frac {4x+7}{(x-2)(x+3)}= \frac {a}{x-2}+\frac {b}{x+3}$,且a,b为实数,则$a= $____,$b= $____.
答案：
$3$ $1$
3. 对于实数a,b,定义新运算:$aΔb= \left\{\begin{array}{l} a^{b}(a＞b,a≠0),\\ a^{-b}(a≤b,a≠0),\end{array}\right. 如2Δ3= 2^{-3}= \frac {1}{8},4Δ2= 4^{2}= 16$,则$[2Δ(-4)]×[(-8)Δ(-2)]= $____.
答案：
$4$
4. 有两个熟练工人甲和乙,已知甲每小时能制作a个零件,乙每小时能制作b个零件.现要赶制一批零件,如果甲单独完成需要m小时,那么甲、乙两人同时工作,可比甲单独完成提前____小时.
答案：
$\frac{mb}{a + b}$
1. 解下列分式方程:
(1)$\frac {x}{x+1}-1= \frac {3}{(x-2)(x+1)}$;
(2)$\frac {2x}{x-1}-\frac {5x-5}{x}+3= 0$.
(1)$\frac {x}{x+1}-1= \frac {3}{(x-2)(x+1)}$;
(2)$\frac {2x}{x-1}-\frac {5x-5}{x}+3= 0$.
答案：
【解析】：
1. 对于方程$\frac {x}{x + 1}-1=\frac {3}{(x - 2)(x + 1)}$：
方程两边同乘$(x - 2)(x + 1)$去分母得：$x(x - 2)-(x - 2)(x + 1)=3$。
展开括号：$x^{2}-2x-(x^{2}+x - 2x - 2)=3$，即$x^{2}-2x - x^{2}-x + 2x + 2 = 3$。
合并同类项：$(x^{2}-x^{2})+(-2x - x + 2x)+2 = 3$，得到$-x+2 = 3$。
移项得：$-x=3 - 2$，即$-x = 1$，解得$x=-1$。
检验：当$x = - 1$时，$(x - 2)(x + 1)=(-1 - 2)\times(-1 + 1)=0$，所以$x=-1$是增根，原分式方程无解。
2. 对于方程$\frac {2x}{x - 1}-\frac {5x - 5}{x}+3 = 0$：
先将$\frac{5x - 5}{x}$变形为$\frac{5(x - 1)}{x}$，方程两边同乘$x(x - 1)$去分母得：$2x\cdot x-5(x - 1)(x - 1)+3x(x - 1)=0$。
展开括号：$2x^{2}-5(x^{2}-2x + 1)+3x^{2}-3x = 0$，即$2x^{2}-5x^{2}+10x - 5+3x^{2}-3x = 0$。
合并同类项：$(2x^{2}-5x^{2}+3x^{2})+(10x - 3x)-5 = 0$，得到$7x-5 = 0$。
移项得：$7x = 5$，解得$x=\frac{5}{7}$。
检验：当$x=\frac{5}{7}$时，$x(x - 1)=\frac{5}{7}\times(\frac{5}{7}-1)=\frac{5}{7}\times(-\frac{2}{7})\neq0$，所以$x = \frac{5}{7}$是原分式方程的解。
【答案】：1. 无解 2. $x=\frac{5}{7}$
1. 对于方程$\frac {x}{x + 1}-1=\frac {3}{(x - 2)(x + 1)}$：
方程两边同乘$(x - 2)(x + 1)$去分母得：$x(x - 2)-(x - 2)(x + 1)=3$。
展开括号：$x^{2}-2x-(x^{2}+x - 2x - 2)=3$，即$x^{2}-2x - x^{2}-x + 2x + 2 = 3$。
合并同类项：$(x^{2}-x^{2})+(-2x - x + 2x)+2 = 3$，得到$-x+2 = 3$。
移项得：$-x=3 - 2$，即$-x = 1$，解得$x=-1$。
检验：当$x = - 1$时，$(x - 2)(x + 1)=(-1 - 2)\times(-1 + 1)=0$，所以$x=-1$是增根，原分式方程无解。
2. 对于方程$\frac {2x}{x - 1}-\frac {5x - 5}{x}+3 = 0$：
先将$\frac{5x - 5}{x}$变形为$\frac{5(x - 1)}{x}$，方程两边同乘$x(x - 1)$去分母得：$2x\cdot x-5(x - 1)(x - 1)+3x(x - 1)=0$。
展开括号：$2x^{2}-5(x^{2}-2x + 1)+3x^{2}-3x = 0$，即$2x^{2}-5x^{2}+10x - 5+3x^{2}-3x = 0$。
合并同类项：$(2x^{2}-5x^{2}+3x^{2})+(10x - 3x)-5 = 0$，得到$7x-5 = 0$。
移项得：$7x = 5$，解得$x=\frac{5}{7}$。
检验：当$x=\frac{5}{7}$时，$x(x - 1)=\frac{5}{7}\times(\frac{5}{7}-1)=\frac{5}{7}\times(-\frac{2}{7})\neq0$，所以$x = \frac{5}{7}$是原分式方程的解。
【答案】：1. 无解 2. $x=\frac{5}{7}$
2. 先化简$(\frac {1}{x-1}-1)÷\frac {x^{2}-2x}{x^{2}-1}$,然后从不等式组$\left\{\begin{array}{l} -x+1≤3,\\ 2x＜4\end{array}\right. $的解集中选取一个你认为符合题意的x代入求值.
答案：
【解析】：
1. 首先化简$(\frac{1}{x - 1}-1)\div\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-1}$：
对括号内式子进行通分：$\frac{1}{x - 1}-1=\frac{1-(x - 1)}{x - 1}=\frac{1 - x + 1}{x - 1}=\frac{2 - x}{x - 1}$。
对除法式子中的分母因式分解：$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，$x^{2}-2x=x(x - 2)$。
则原式$(\frac{2 - x}{x - 1})\div\frac{x(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{2 - x}{x - 1}\times\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 2)}$。
因为$2 - x=-(x - 2)$，所以$\frac{-(x - 2)}{x - 1}\times\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 2)}=-\frac{x + 1}{x}$。
2. 然后解不等式组$\left\{\begin{array}{l}-x + 1\leq3\\2x\lt4\end{array}\right.$：
解不等式$-x + 1\leq3$：
移项可得$-x\leq3 - 1$，即$-x\leq2$。
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$x\geq - 2$。
解不等式$2x\lt4$：
两边同时除以$2$，得$x\lt2$。
所以不等式组的解集为$-2\leq x\lt2$。
3. 最后确定$x$的取值并代入求值：
要使原式有意义，则分母不能为$0$，即$x-1\neq0$，$x\neq1$；$x(x - 2)\neq0$，$x\neq0$且$x\neq2$。
在$-2\leq x\lt2$中，取$x=-1$代入$-\frac{x + 1}{x}$，则$-\frac{-1 + 1}{-1}=0$。
【答案】：化简结果为$-\frac{x + 1}{x}$，不等式组解集为$-2\leq x\lt2$，当$x = - 1$时，值为$0$。
1. 首先化简$(\frac{1}{x - 1}-1)\div\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-1}$：
对括号内式子进行通分：$\frac{1}{x - 1}-1=\frac{1-(x - 1)}{x - 1}=\frac{1 - x + 1}{x - 1}=\frac{2 - x}{x - 1}$。
对除法式子中的分母因式分解：$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，$x^{2}-2x=x(x - 2)$。
则原式$(\frac{2 - x}{x - 1})\div\frac{x(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{2 - x}{x - 1}\times\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 2)}$。
因为$2 - x=-(x - 2)$，所以$\frac{-(x - 2)}{x - 1}\times\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 2)}=-\frac{x + 1}{x}$。
2. 然后解不等式组$\left\{\begin{array}{l}-x + 1\leq3\\2x\lt4\end{array}\right.$：
解不等式$-x + 1\leq3$：
移项可得$-x\leq3 - 1$，即$-x\leq2$。
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$x\geq - 2$。
解不等式$2x\lt4$：
两边同时除以$2$，得$x\lt2$。
所以不等式组的解集为$-2\leq x\lt2$。
3. 最后确定$x$的取值并代入求值：
要使原式有意义，则分母不能为$0$，即$x-1\neq0$，$x\neq1$；$x(x - 2)\neq0$，$x\neq0$且$x\neq2$。
在$-2\leq x\lt2$中，取$x=-1$代入$-\frac{x + 1}{x}$，则$-\frac{-1 + 1}{-1}=0$。
【答案】：化简结果为$-\frac{x + 1}{x}$，不等式组解集为$-2\leq x\lt2$，当$x = - 1$时，值为$0$。
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