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2. 在平面直角坐标系中,一次函数$y= -\frac{3}{4}x + b的图象与y轴交于点B(0,2)$,与反比例函数$y= \frac{m}{x}的图象交于点A(4,-1)$.
(1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式；
(2)如果点$P是x$轴上的一点,且$\triangle ABP的面积是3$,求$P$点的坐标.
(1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式；
(2)如果点$P是x$轴上的一点,且$\triangle ABP的面积是3$,求$P$点的坐标.
答案：
【解析】：
(1)
求反比例函数表达式：
已知反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象过点$A(4, -1)$，将$A(4, -1)$代入$y = \frac{m}{x}$中，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$，$x\neq0$）的性质，可得$-1=\frac{m}{4}$，解得$m = - 4$，所以反比例函数的表达式为$y = -\frac{4}{x}$。
求一次函数表达式：
已知一次函数$y = -\frac{3}{4}x + b$的图象过点$B(0,2)$，将$B(0,2)$代入$y = -\frac{3}{4}x + b$中，根据一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）的性质，可得$2=-\frac{3}{4}\times0 + b$，解得$b = 2$，所以一次函数的表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 2$。
(2)
设$P$点坐标为$(x,0)$。
先求直线$y = -\frac{3}{4}x + 2$与$x$轴交点$C$的坐标，令$y = 0$，则$0=-\frac{3}{4}x + 2$，解得$x=\frac{8}{3}$，即$C(\frac{8}{3},0)$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$\triangle ABP$的面积$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle BCP}+S_{\triangle ACP}$。
$OB = 2$（$B$点纵坐标的绝对值），$A$点纵坐标的绝对值$\vert y_{A}\vert = 1$。
$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\times\vert x - \frac{8}{3}\vert\times(2 + 1)=3$，即$\frac{1}{2}\times\vert x - \frac{8}{3}\vert\times3 = 3$，$\vert x - \frac{8}{3}\vert = 2$。
当$x-\frac{8}{3}=2$时，$x=\frac{8}{3}+2=\frac{8 + 6}{3}=\frac{14}{3}$；当$x-\frac{8}{3}=-2$时，$x=\frac{8}{3}-2=\frac{8 - 6}{3}=\frac{2}{3}$。
【答案】：
(1) 反比例函数表达式为$y = -\frac{4}{x}$，一次函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 2$。
(2) $P$点坐标为$(\frac{2}{3},0)$或$(\frac{14}{3},0)$。
(1)
求反比例函数表达式：
已知反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象过点$A(4, -1)$，将$A(4, -1)$代入$y = \frac{m}{x}$中，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$，$x\neq0$）的性质，可得$-1=\frac{m}{4}$，解得$m = - 4$，所以反比例函数的表达式为$y = -\frac{4}{x}$。
求一次函数表达式：
已知一次函数$y = -\frac{3}{4}x + b$的图象过点$B(0,2)$，将$B(0,2)$代入$y = -\frac{3}{4}x + b$中，根据一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）的性质，可得$2=-\frac{3}{4}\times0 + b$，解得$b = 2$，所以一次函数的表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 2$。
(2)
设$P$点坐标为$(x,0)$。
先求直线$y = -\frac{3}{4}x + 2$与$x$轴交点$C$的坐标，令$y = 0$，则$0=-\frac{3}{4}x + 2$，解得$x=\frac{8}{3}$，即$C(\frac{8}{3},0)$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$\triangle ABP$的面积$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle BCP}+S_{\triangle ACP}$。
$OB = 2$（$B$点纵坐标的绝对值），$A$点纵坐标的绝对值$\vert y_{A}\vert = 1$。
$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\times\vert x - \frac{8}{3}\vert\times(2 + 1)=3$，即$\frac{1}{2}\times\vert x - \frac{8}{3}\vert\times3 = 3$，$\vert x - \frac{8}{3}\vert = 2$。
当$x-\frac{8}{3}=2$时，$x=\frac{8}{3}+2=\frac{8 + 6}{3}=\frac{14}{3}$；当$x-\frac{8}{3}=-2$时，$x=\frac{8}{3}-2=\frac{8 - 6}{3}=\frac{2}{3}$。
【答案】：
(1) 反比例函数表达式为$y = -\frac{4}{x}$，一次函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 2$。
(2) $P$点坐标为$(\frac{2}{3},0)$或$(\frac{14}{3},0)$。
3. 暑假期间,某个体户购进一批时令水果,$20$天销售完毕. 他将本次销售情况进行了跟踪记录,根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象,其中日销售量$y$(千克)与销售时间$x$(天)之间的函数关系如图甲所示,销售单价$p$(元/千克)与销售时间$x$(天)之间的函数关系如图乙所示.
(1)直接写出$y与x$之间的函数关系式；
(2)分别求出第$10天和第15$天的销售金额；
(3)若日销售量不低于$24$千克的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元/千克？
(1)直接写出$y与x$之间的函数关系式；
(2)分别求出第$10天和第15$天的销售金额；
(3)若日销售量不低于$24$千克的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元/千克？
答案：
【解析】：
### $(1)$求$y$与$x$之间的函数关系式
当$0\leqslant x\leqslant15$时，设$y = k_{1}x$（$k_{1}\neq0$），把$(15,30)$代入$y = k_{1}x$得：$30 = 15k_{1}$，解得$k_{1}=2$，所以$y = 2x$。
当$15\lt x\leqslant20$时，设$y=k_{2}x + b$（$k_{2}\neq0$），把$(15,30)$，$(20,0)$代入$y = k_{2}x + b$得：$\begin{cases}15k_{2}+b = 30\\20k_{2}+b = 0\end{cases}$
用$15k_{2}+b = 30$减去$20k_{2}+b = 0$可得：
$\begin{aligned}15k_{2}+b-(20k_{2}+b)&=30 - 0\\15k_{2}+b - 20k_{2}-b&=30\\- 5k_{2}&=30\\k_{2}&=-6\end{aligned}$
把$k_{2}=-6$代入$15k_{2}+b = 30$得：$15\times(-6)+b = 30$，$-90 + b = 30$，解得$b = 120$，所以$y=-6x + 120$。
综上，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\begin{cases}2x(0\leqslant x\leqslant15)\\-6x + 120(15\lt x\leqslant20)\end{cases}$。
### $(2)$求第$10$天和第$15$天的销售金额
第$10$天：
由图乙知，当$0\leqslant x\leqslant10$时，$p = 10$，由$(1)$知当$x = 10$时，$y=2\times10 = 20$，销售金额$=$销售单价$\times$日销售量，所以第$10$天销售金额为$10\times20 = 200$（元）。
第$15$天：
当$x = 15$时，$y = 30$，由图乙知，当$10\lt x\leqslant20$时，设$p=mx + n$（$m\neq0$），把$(10,10)$，$(20,8)$代入$p=mx + n$得：$\begin{cases}10m + n = 10\\20m + n = 8\end{cases}$
用$20m + n = 8$减去$10m + n = 10$可得：
$\begin{aligned}20m + n-(10m + n)&=8 - 10\\20m + n - 10m - n&=-2\\10m&=-2\\m&=-\frac{1}{5}\end{aligned}$
把$m = -\frac{1}{5}$代入$10m + n = 10$得：$10\times(-\frac{1}{5})+n = 10$，$-2 + n = 10$，解得$n = 12$，所以$p=-\frac{1}{5}x + 12$。
当$x = 15$时，$p=-\frac{1}{5}\times15 + 12=-3 + 12 = 9$，销售金额为$9\times30 = 270$（元）。
### $(3)$求“最佳销售期”的天数和此期间销售单价的最大值
当$y\geqslant24$时：
若$2x\geqslant24$（$0\leqslant x\leqslant15$），解得$x\geqslant12$。
若$-6x + 120\geqslant24$（$15\lt x\leqslant20$），$-6x\geqslant24 - 120$，$-6x\geqslant - 96$，解得$x\leqslant16$。
所以$12\leqslant x\leqslant16$，“最佳销售期”共有$16 - 12+1 = 5$天。
由$p=-\frac{1}{5}x + 12$（$10\lt x\leqslant20$），$k = -\frac{1}{5}\lt0$，$p$随$x$的增大而减小，所以当$x = 12$时，$p$有最大值，$p=-\frac{1}{5}\times12 + 12=-\frac{12}{5}+12=\frac{-12 + 60}{5}=9.6$（元/千克）。
【答案】：
$(1)$$y=\begin{cases}2x(0\leqslant x\leqslant15)\\-6x + 120(15\lt x\leqslant20)\end{cases}$；
$(2)$第$10$天销售金额为$200$元，第$15$天销售金额为$270$元；
$(3)$“最佳销售期”共有$5$天，在此期间销售单价最高为$9.6$元/千克。
### $(1)$求$y$与$x$之间的函数关系式
当$0\leqslant x\leqslant15$时，设$y = k_{1}x$（$k_{1}\neq0$），把$(15,30)$代入$y = k_{1}x$得：$30 = 15k_{1}$，解得$k_{1}=2$，所以$y = 2x$。
当$15\lt x\leqslant20$时，设$y=k_{2}x + b$（$k_{2}\neq0$），把$(15,30)$，$(20,0)$代入$y = k_{2}x + b$得：$\begin{cases}15k_{2}+b = 30\\20k_{2}+b = 0\end{cases}$
用$15k_{2}+b = 30$减去$20k_{2}+b = 0$可得：
$\begin{aligned}15k_{2}+b-(20k_{2}+b)&=30 - 0\\15k_{2}+b - 20k_{2}-b&=30\\- 5k_{2}&=30\\k_{2}&=-6\end{aligned}$
把$k_{2}=-6$代入$15k_{2}+b = 30$得：$15\times(-6)+b = 30$，$-90 + b = 30$，解得$b = 120$，所以$y=-6x + 120$。
综上，$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\begin{cases}2x(0\leqslant x\leqslant15)\\-6x + 120(15\lt x\leqslant20)\end{cases}$。
### $(2)$求第$10$天和第$15$天的销售金额
第$10$天：
由图乙知，当$0\leqslant x\leqslant10$时，$p = 10$，由$(1)$知当$x = 10$时，$y=2\times10 = 20$，销售金额$=$销售单价$\times$日销售量，所以第$10$天销售金额为$10\times20 = 200$（元）。
第$15$天：
当$x = 15$时，$y = 30$，由图乙知，当$10\lt x\leqslant20$时，设$p=mx + n$（$m\neq0$），把$(10,10)$，$(20,8)$代入$p=mx + n$得：$\begin{cases}10m + n = 10\\20m + n = 8\end{cases}$
用$20m + n = 8$减去$10m + n = 10$可得：
$\begin{aligned}20m + n-(10m + n)&=8 - 10\\20m + n - 10m - n&=-2\\10m&=-2\\m&=-\frac{1}{5}\end{aligned}$
把$m = -\frac{1}{5}$代入$10m + n = 10$得：$10\times(-\frac{1}{5})+n = 10$，$-2 + n = 10$，解得$n = 12$，所以$p=-\frac{1}{5}x + 12$。
当$x = 15$时，$p=-\frac{1}{5}\times15 + 12=-3 + 12 = 9$，销售金额为$9\times30 = 270$（元）。
### $(3)$求“最佳销售期”的天数和此期间销售单价的最大值
当$y\geqslant24$时：
若$2x\geqslant24$（$0\leqslant x\leqslant15$），解得$x\geqslant12$。
若$-6x + 120\geqslant24$（$15\lt x\leqslant20$），$-6x\geqslant24 - 120$，$-6x\geqslant - 96$，解得$x\leqslant16$。
所以$12\leqslant x\leqslant16$，“最佳销售期”共有$16 - 12+1 = 5$天。
由$p=-\frac{1}{5}x + 12$（$10\lt x\leqslant20$），$k = -\frac{1}{5}\lt0$，$p$随$x$的增大而减小，所以当$x = 12$时，$p$有最大值，$p=-\frac{1}{5}\times12 + 12=-\frac{12}{5}+12=\frac{-12 + 60}{5}=9.6$（元/千克）。
【答案】：
$(1)$$y=\begin{cases}2x(0\leqslant x\leqslant15)\\-6x + 120(15\lt x\leqslant20)\end{cases}$；
$(2)$第$10$天销售金额为$200$元，第$15$天销售金额为$270$元；
$(3)$“最佳销售期”共有$5$天，在此期间销售单价最高为$9.6$元/千克。
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