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3. 阅读下面的材料,并解答问题.
将分式$\frac {2x+8}{x+2}(x≥0)$拆分成一个数与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解:$\frac {2x+8}{x+2}= \frac {2x+4+4}{x+2}= \frac {2(x+2)}{x+2}+\frac {4}{x+2}= 2+\frac {4}{x+2}$,
这样,分式$\frac {2x+8}{x+2}$被拆分成一个数2与一个分式$\frac {4}{x+2}$的和.
解答下列问题:
(1)分式$\frac {2x+8}{x+2}(x≥0)$的取值范围是____;
(2)求分式$\frac {2x^{2}+5}{-x^{2}-1}$的取值范围.
将分式$\frac {2x+8}{x+2}(x≥0)$拆分成一个数与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解:$\frac {2x+8}{x+2}= \frac {2x+4+4}{x+2}= \frac {2(x+2)}{x+2}+\frac {4}{x+2}= 2+\frac {4}{x+2}$,
这样,分式$\frac {2x+8}{x+2}$被拆分成一个数2与一个分式$\frac {4}{x+2}$的和.
解答下列问题:
(1)分式$\frac {2x+8}{x+2}(x≥0)$的取值范围是____;
(2)求分式$\frac {2x^{2}+5}{-x^{2}-1}$的取值范围.
答案：
【解析】：1. 对于分式$\frac{2x + 8}{x + 2}=2+\frac{4}{x + 2}$，因为$x\geq0$，那么$x + 2\geq2$，则$0\lt\frac{1}{x + 2}\leq\frac{1}{2}$，所以$0\lt\frac{4}{x + 2}\leq2$，进而$2\lt2+\frac{4}{x + 2}\leq4$，即分式$\frac{2x + 8}{x + 2}(x\geq0)$的取值范围是$2\lt\frac{2x + 8}{x + 2}\leq4$。
2. 对于分式$\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}$，先进行变形：$\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}=\frac{-2(-x^{2}-1)+3}{-x^{2}-1}=\frac{-2(-x^{2}-1)}{-x^{2}-1}+\frac{3}{-x^{2}-1}=-2+\frac{3}{-x^{2}-1}$。因为$x^{2}\geq0$，所以$-x^{2}\leq0$，则$-x^{2}-1\leq - 1$，那么$-1\leq\frac{1}{-x^{2}-1}\lt0$，所以$-3\leq\frac{3}{-x^{2}-1}\lt0$，进而$-5\leq - 2+\frac{3}{-x^{2}-1}\lt - 2$，即分式$\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}$的取值范围是$-5\leq\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}\lt - 2$。
【答案】：1. $2\lt\frac{2x + 8}{x + 2}\leq4$ 2. $-5\leq\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}\lt - 2$
2. 对于分式$\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}$，先进行变形：$\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}=\frac{-2(-x^{2}-1)+3}{-x^{2}-1}=\frac{-2(-x^{2}-1)}{-x^{2}-1}+\frac{3}{-x^{2}-1}=-2+\frac{3}{-x^{2}-1}$。因为$x^{2}\geq0$，所以$-x^{2}\leq0$，则$-x^{2}-1\leq - 1$，那么$-1\leq\frac{1}{-x^{2}-1}\lt0$，所以$-3\leq\frac{3}{-x^{2}-1}\lt0$，进而$-5\leq - 2+\frac{3}{-x^{2}-1}\lt - 2$，即分式$\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}$的取值范围是$-5\leq\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}\lt - 2$。
【答案】：1. $2\lt\frac{2x + 8}{x + 2}\leq4$ 2. $-5\leq\frac{2x^{2}+5}{-x^{2}-1}\lt - 2$
4. 某医药制品公司计划生产1500件防护服,在加工了300件防护服后,由于需求有变,工作效率提高到原来的1.5倍,结果比原计划提前4天完成了任务.求原计划每天加工多少件防护服.
答案：
【解析】：设原计划每天加工$x$件防护服，则提高效率后每天加工$1.5x$件。
原计划完成任务的天数为$\frac{1500}{x}$天。
已经加工了$300$件，用的时间是$\frac{300}{x}$天，还剩下$1500 - 300 = 1200$件，提高效率后加工这$1200$件用的时间是$\frac{1200}{1.5x}$天。
根据结果比原计划提前$4$天完成任务，可列方程：$\frac{1500}{x}-(\frac{300}{x}+\frac{1200}{1.5x}) = 4$。
方程两边同乘$1.5x$去分母得：$1500\times1.5 - (300\times1.5 + 1200)=4\times1.5x$。
即$2250-(450 + 1200)=6x$，$2250 - 1650 = 6x$，$600 = 6x$，解得$x = 100$。
经检验，当$x = 100$时，$1.5x=1.5\times100 = 150\neq0$，$x = 100$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】：100
原计划完成任务的天数为$\frac{1500}{x}$天。
已经加工了$300$件，用的时间是$\frac{300}{x}$天，还剩下$1500 - 300 = 1200$件，提高效率后加工这$1200$件用的时间是$\frac{1200}{1.5x}$天。
根据结果比原计划提前$4$天完成任务，可列方程：$\frac{1500}{x}-(\frac{300}{x}+\frac{1200}{1.5x}) = 4$。
方程两边同乘$1.5x$去分母得：$1500\times1.5 - (300\times1.5 + 1200)=4\times1.5x$。
即$2250-(450 + 1200)=6x$，$2250 - 1650 = 6x$，$600 = 6x$，解得$x = 100$。
经检验，当$x = 100$时，$1.5x=1.5\times100 = 150\neq0$，$x = 100$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】：100
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