《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

22. （8分）已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(m - 1)x + m^{2}=0$有实数根。
（1）求$m$的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为$x_{1}$、$x_{2}$，若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8 - 3x_{1}x_{2}$，求$m$的值。

答案： （1）
由于方程$x^{2} - 2(m - 1)x + m^{2} = 0$有实数根，根据判别式的性质，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$
其中，$a = 1, b = -2(m - 1), c = m^{2}$。
代入得：
$\Delta = (-2(m - 1))^{2} - 4 × 1 × m^{2} = 4m^{2} - 8m + 4 - 4m^{2} = -8m + 4 \geq 0$
解得：
$m \leq \frac{1}{2}$
（2）
根据二次方程的性质，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 2(m - 1)$
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = m^{2}$
由题意得：
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 8 - 3x_{1}x_{2}$
利用平方差公式，有：
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}$
代入得：
$(2(m - 1))^{2} - 2m^{2} = 8 - 3m^{2}$
整理得：
$4m^{2} - 8m + 4 - 2m^{2} = 8 - 3m^{2}$
$5m^{2} - 8m - 4 = 0$
解得：
$m_{1} = 2, \quad m_{2} = -\frac{2}{5}$
由于$m \leq \frac{1}{2}$，所以$m = -\frac{2}{5}$。

23. （8分）一个两位数的个位数字与十位数字的和为$11$，并且个位数字与十位数字的平方和为$85$，求这个两位数。

答案： 设这个两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 11 \\x^2 + y^2 = 85\end{cases}$
由$x + y = 11$，得$y = 11 - x$。
将$y = 11 - x$代入$x^2 + y^2 = 85$，得：
$x^2 + (11 - x)^2 = 85$
$x^2 + 121 - 22x + x^2 = 85$
$2x^2 - 22x + 36 = 0$
$x^2 - 11x + 18 = 0$
$(x - 2)(x - 9) = 0$
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 9$。
当$x = 2$时，$y = 11 - 2 = 9$，两位数为$29$；
当$x = 9$时，$y = 11 - 9 = 2$，两位数为$92$。
答：这个两位数为$29$或$92$。

24. （8分）为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为每个$3$元的某品牌粽子，根据市场预测，当该品牌粽子每个的售价为$4$元时，每天能售出$500$个，并且每个的售价每上涨$0.1$元，其销售量将减少$10$个。为了维护消费者的利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的$200\%$。若超市计划每天销售该品牌的粽子获得的利润为$800$元，则应如何定价？

答案： 设该品牌粽子的定价为x元。
首先，根据题意，当粽子每个的售价为4元时，每天能售出500个，且售价每上涨0.1元，销售量减少10个。
因此，当定价为x元时，每天的销售量为：
$500 - 10 × \frac{x - 4}{0.1} = 500 - 100(x - 4) = 100(9 - x) ($个，$（4\leq x\leq6）)，$每个粽子的利润为x - 3元（售价减去进价）。所以，每天的总利润为：(x - 3) × 100(9 - x) = 800，展开并整理得：$x^2 - 12x + 35 = 0，$解这个一元二次方程，得到：$x_{1} = 5, \quad x_{2} = 7，$但由于物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的200\%，即：$x \leq 3 × 2 = 6，$因此，$x_{2} = 7$不符合题意，需要舍去。所以，该品牌粽子的定价应为5元。