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24. （8分）某种产品按质量分为$10$个档次，最低档次的产品每件可获得利润$24$元，每提高一个档次，每件产品的利润增加$2$元，最低档次的产品每天可生产$60$件，每提高一个档次，日产量将减少$2$件，并且每天只生产同一档次的产品（最低档次为第$1$档次，档次依次随质量的提高而提高）。
（1）某天生产第$3$档次的产品，求该档次每件产品的利润以及这一天的总利润；
（2）如果要使一天获得利润$1728$元，那么应生产第几档次的产品？
（1）某天生产第$3$档次的产品，求该档次每件产品的利润以及这一天的总利润；
（2）如果要使一天获得利润$1728$元，那么应生产第几档次的产品？
答案：
（1）
第3档次，相对于最低档次提高$3 - 1 = 2$个档次。
每件产品的利润：$24 + 2 × (3 - 1) = 24 + 4 = 28$（元）。
每天的生产量：$60 - 2 × (3 - 1) = 60 - 4 = 56$（件）。
一天的总利润：$28 × 56 = 1568$（元）。
所以该档次每件产品利润为28元，一天总利润为1568元。
（2）
设生产第$x$档次的产品。
每件产品的利润：$24 + 2(x - 1)$。
每天的生产量：$60 - 2(x - 1)$。
一天的总利润：$[24 + 2(x - 1)] × [60 - 2(x - 1)]$。
根据题意，建立方程：
$[24 + 2(x - 1)] × [60 - 2(x - 1)] = 1728$，
$(22 + 2x) × (62 - 2x) = 1728$（将x-1看作一个整体进行简化），
$1364+80x-4x^2= 1728$，
$4x^2-80x+364=0$，
$x^2 - 20x + 91 = 0$。
通过求解这个一元二次方程，得到：
$x_{1} = 7$，
$x_{2} = 13$（由于档次最高为10，所以$x_{2} = 13$不符合题意，舍去）。
所以应生产第7档次的产品。
第3档次，相对于最低档次提高$3 - 1 = 2$个档次。
每件产品的利润：$24 + 2 × (3 - 1) = 24 + 4 = 28$（元）。
每天的生产量：$60 - 2 × (3 - 1) = 60 - 4 = 56$（件）。
一天的总利润：$28 × 56 = 1568$（元）。
所以该档次每件产品利润为28元，一天总利润为1568元。
（2）
设生产第$x$档次的产品。
每件产品的利润：$24 + 2(x - 1)$。
每天的生产量：$60 - 2(x - 1)$。
一天的总利润：$[24 + 2(x - 1)] × [60 - 2(x - 1)]$。
根据题意，建立方程：
$[24 + 2(x - 1)] × [60 - 2(x - 1)] = 1728$，
$(22 + 2x) × (62 - 2x) = 1728$（将x-1看作一个整体进行简化），
$1364+80x-4x^2= 1728$，
$4x^2-80x+364=0$，
$x^2 - 20x + 91 = 0$。
通过求解这个一元二次方程，得到：
$x_{1} = 7$，
$x_{2} = 13$（由于档次最高为10，所以$x_{2} = 13$不符合题意，舍去）。
所以应生产第7档次的产品。
25. (8分)如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，$AB$是$\odot O$的直径，点$D$在$\overset{\frown}{BC}$上，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，点$E$在$BA$的延长线上，$\angle CEA=\angle CAD$。
(1)如图①，求证：$CE$是$\odot O$的切线；
(2)如图②，若$\angle CEA = 2\angle DAB$，$OA = 8$，则$\overset{\frown}{BD}$的长为。
(1)如图①，求证：$CE$是$\odot O$的切线；
(2)如图②，若$\angle CEA = 2\angle DAB$，$OA = 8$，则$\overset{\frown}{BD}$的长为。
答案：
(1)
证明：
连接$OC$，
因为$AB$是$\odot O$的直径，
所以$\angle ACB = 90^{\circ}$，
即$\angle CAD + \angle ABC=90^{\circ}$，
因为$OA = OC$，
所以$\angle CAO = \angle ACO$，
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
所以$\angle ABC=\angle DAB=\angle ACO$，
因为$\angle CEA=\angle CAD$，
所以$\angle CEA+\angle ACO = \angle CAD+\angle ABC = 90^{\circ}$，
即$\angle ECO = 90^{\circ}$，
所以$OC\perp CE$，
又因为$OC$是$\odot O$的半径，
所以$CE$是$\odot O$的切线。
(2)
由（1）知$\angle ABC=\angle DAB$，
因为$\angle CEA = 2\angle DAB$，
设$\angle DAB = \alpha$，则$\angle CEA = 2\alpha$，
$\angle ABC=\angle DAB=\alpha$，
因为$\angle CEA=\angle CAD$，
所以$\angle CAD = 2\alpha$，
在$\triangle ABC$中，$\angle CAB=\angle CAD + \angle DAB=3\alpha$，
$\angle ABC=\alpha$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
可得$3\alpha+\alpha + 90^{\circ}=180^{\circ}$，
$4\alpha=90^{\circ}$，
解得$\alpha = 22.5^{\circ}$，
所以$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角$\angle BOD = 2\angle DAB = 2\alpha=45^{\circ}$，
已知$OA = 8$，则$\odot O$半径$r = 8$，
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），
可得$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{45\pi×8}{180}=2\pi$。
故答案为$2\pi$。
(1)
证明：
连接$OC$，
因为$AB$是$\odot O$的直径，
所以$\angle ACB = 90^{\circ}$，
即$\angle CAD + \angle ABC=90^{\circ}$，
因为$OA = OC$，
所以$\angle CAO = \angle ACO$，
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
所以$\angle ABC=\angle DAB=\angle ACO$，
因为$\angle CEA=\angle CAD$，
所以$\angle CEA+\angle ACO = \angle CAD+\angle ABC = 90^{\circ}$，
即$\angle ECO = 90^{\circ}$，
所以$OC\perp CE$，
又因为$OC$是$\odot O$的半径，
所以$CE$是$\odot O$的切线。
(2)
由（1）知$\angle ABC=\angle DAB$，
因为$\angle CEA = 2\angle DAB$，
设$\angle DAB = \alpha$，则$\angle CEA = 2\alpha$，
$\angle ABC=\angle DAB=\alpha$，
因为$\angle CEA=\angle CAD$，
所以$\angle CAD = 2\alpha$，
在$\triangle ABC$中，$\angle CAB=\angle CAD + \angle DAB=3\alpha$，
$\angle ABC=\alpha$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
可得$3\alpha+\alpha + 90^{\circ}=180^{\circ}$，
$4\alpha=90^{\circ}$，
解得$\alpha = 22.5^{\circ}$，
所以$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角$\angle BOD = 2\angle DAB = 2\alpha=45^{\circ}$，
已知$OA = 8$，则$\odot O$半径$r = 8$，
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），
可得$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{45\pi×8}{180}=2\pi$。
故答案为$2\pi$。
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