《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

19. （6分）若$\triangle ABC$是等腰三角形，$AB = 4$，另外两边长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2mx + m^{2}-1 = 0$的根，求$\triangle ABC$的周长。

答案： 情况一：
方程$x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$的根为$x = m \pm 1$，设两根为$a = m + 1$，$b = m - 1$。
若$a = AB = 4$，则$m + 1 = 4$，解得$m = 3$，此时$b = 3 - 1 = 2$。
三边长为$4$，$4$，$2$，满足三角形三边关系，周长为$4 + 4 + 2 = 10$。
情况二：
若$b = AB = 4$，则$m - 1 = 4$，解得$m = 5$，此时$a = 5 + 1 = 6$。
三边长为$4$，$6$，$6$，满足三角形三边关系，周长为$4 + 6 + 6 = 16$。
结论：△ABC的周长为$10$或$16$。
$\boxed{10}$或$\boxed{16}$

20. （6分）设一元二次方程$x^{2}+bx + c = 0$。有下列四组条件：①$b = 2$，$c = 1$；②$b = 3$，$c = 1$；③$b = 3$，$c = -1$；④$b = 2$，$c = 2$。选择其中一组$b$、$c$的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程。

答案： 选择条件③：$b=3$，$c=-1$。
方程为$x^{2}+3x - 1=0$。
$\Delta = 3^{2}-4×1×(-1)=9 + 4=13＞0$，方程有两个不相等的实数根。
$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$。
$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$。

21. (6分)在实数范围内，对于任意实数$m$、$n(m\neq0)$，规定一种新运算：$m\otimes n = m^{n}+mn - 3$，例如：$3\otimes2 = 3^{2}+3×2 - 3 = 12$。
(1)$(-2)\otimes3$的值为；
(2)若$(-y)\otimes2$的值为$4$，求$y$的值。

答案： （1）
根据题中新运算规则$m\otimes n = m^{n}+mn - 3$，可得$(-2)\otimes3=(-2)^{3}+(-2)×3 - 3$
$=-8 - 6 - 3$
$=-17$
（2）
因为$(-y)\otimes2$的值为$4$，根据新运算规则可得$(-y)^{2}+(-y)×2 - 3 = 4$，即$y^{2}-2y - 3 = 4$，移项化为一元二次方程的标准形式为$y^{2}-2y - 7 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-2$，$c = - 7$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得：
$y=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4×1×(-7)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{4 + 28}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{2\pm4\sqrt{2}}{2}=1\pm2\sqrt{2}$
综上，答案依次为：（1）$-17$；（2）$y = 1 + 2\sqrt{2}$或$1 - 2\sqrt{2}$。