《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

17. （14分）已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分.
（1）求A地考生的数学平均分.
（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明.

答案： （1）
根据加权平均数公式，A地考生的数学平均分为：
$\overset{¯}{x_{A}} = \frac{3000 × 90 + 2000 × 80}{3000 + 2000} = \frac{270000 + 160000}{5000} = \frac{430000}{5000} = 86 (分)$，
答：A地考生的数学平均分是86分。
（2）
不能。
设B地甲类学校考生人数为$m$人，乙类学校考生人数为$n$人，则B地考生的数学平均分为：
$\overset{¯}{x_{B}} = \frac{94m + 82n}{m + n}$，
若$\overset{¯}{x_{B}} ＞ \overset{¯}{x_{A}}$，即$\frac{94m + 82n}{m + n} ＞ 86$，
化简得：$94m + 82n ＞ 86m + 86n$，
进一步化简得：$8m ＞ 4n$，
即：$m ＞ \frac{1}{2}n$，
当B地甲类学校考生人数大于乙类学校考生人数的一半时，B地考生数学平均分才比A地考生数学平均分高；
例如：当B地甲类学校考生人数为100人，乙类学校考生人数为300人，则：
$\overset{¯}{x_{B}} = \frac{100 × 94 + 300 × 82}{100 + 300} = \frac{9400 + 24600}{400} = \frac{34000}{400} = 85 (分)$，
因为$85＜86$，
所以此时B地考生数学平均分低于A地考生数学平均分。
因此不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高。

18. (14分)省射击队欲从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩(单位：环)如下表：

(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是环，乙的平均成绩是环.
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差.
(3)根据(1)(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由.

答案：
(1) 甲的平均成绩：$\frac{10 + 8 + 9 + 8 + 10 + 9}{6} = \frac{54}{6} = 9$（环）
乙的平均成绩：$\frac{10 + 7 + 10 + 10 + 9 + 8}{6} = \frac{54}{6} = 9$（环）
(2) 甲的方差：
$\begin{aligned}s^{2}_{甲}&=\frac{1}{6}[(10-9)^{2}+(8-9)^{2}+(9-9)^{2}+(8-9)^{2}+(10-9)^{2}+(9-9)^{2}]\\&=\frac{1}{6}[1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0]\\&=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx0.67\end{aligned}$
乙的方差：
$\begin{aligned}s^{2}_{乙}&=\frac{1}{6}[(10-9)^{2}+(7-9)^{2}+(10-9)^{2}+(10-9)^{2}+(9-9)^{2}+(8-9)^{2}]\\&=\frac{1}{6}[1 + 4 + 1 + 1 + 0 + 1]\\&=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx1.33\end{aligned}$
(3) 推荐甲参加全国比赛更合适。理由：甲、乙平均成绩相同，但甲的方差$\frac{2}{3}$小于乙的方差$\frac{4}{3}$，甲的成绩更稳定。
答案
(1) 9；9
(2) 甲的方差$\frac{2}{3}$，乙的方差$\frac{4}{3}$
(3) 推荐甲，理由：甲、乙平均成绩相同，甲的方差小，成绩更稳定。