《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

21. （6分）如图，在$\odot O$中，$C$是弦$AB$上的一个动点，连接$OC$，过点$C$作$CD\perp OC$，交$\odot O$于点$D$。
（1）当点$C$在$AB$的什么位置时，$CD$的长取得最大值？
（2）若$AB = 1$，求$CD$长的最大值。

答案： （1）在Rt△OCD中，OD为⊙O半径（设为r），由勾股定理得：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{r^2-OC^2}$。要使CD最大，需OC最小。圆心O到弦AB上点C的距离中，最短距离为O到AB的垂线段长，此时C为AB中点。故当点C是AB中点时，CD长取得最大值。
（2）设AB中点为M，由垂径定理得$AM=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}$，OM⊥AB。设OM=d，半径为r，在Rt△OAM中，$r^2=d^2+(\frac{1}{2})^2$。CD最大值时，$CD=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{d^2+\frac{1}{4}-d^2}=\frac{1}{2}$。
（1）点C是AB的中点；（2）$\frac{1}{2}$

22. （8分）已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}+m = 0$。
（1）求证：无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
（2）设该方程的两个实数根分别为$a$、$b$。若$(2a + b)(a + 2b)=20$，求$m$的值。

答案： （1）证明：对于方程$x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}+m = 0$，判别式$\Delta = [-(2m+1)]^{2}-4×1×(m^{2}+m)$
$=4m^{2}+4m+1-4m^{2}-4m=1$
$\because\Delta=1＞0$，$\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
（2）由韦达定理得：$a+b=2m+1$，$ab=m^{2}+m$
$\because(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab+2b^{2}=2(a^{2}+b^{2})+5ab=2[(a+b)^{2}-2ab]+5ab=2(a+b)^{2}+ab$
$\therefore2(a+b)^{2}+ab=20$
将$a+b=2m+1$，$ab=m^{2}+m$代入得：
$2(2m+1)^{2}+(m^{2}+m)=20$
整理得：$2(4m^{2}+4m+1)+m^{2}+m=20$
$8m^{2}+8m+2+m^{2}+m-20=0$
$9m^{2}+9m-18=0$
即$m^{2}+m-2=0$
解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=1$
$\therefore m$的值为$-2$或$1$。

23. （8分）问题提出：如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
（1）初步尝试：如图①，已知扇形$OAB$，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心$O$作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
（2）问题联想：如图②，已知线段$MN$，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以$MN$为斜边的等腰直角三角形$MNP$；
（3）问题再解：如图③，已知扇形$OAB$，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点$O$为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分。
注：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹。

答案：