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18. （6分）已知关于$x$的一元二次方程$2x^{2}+(3m - 2)x - 6 = 0$的两根互为相反数，求$m$的值。
答案：
设方程$2x^{2}+(3m - 2)x - 6 = 0$的两根为$x_1$，$x_2$。
因为两根互为相反数，所以$x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
在方程$2x^{2}+(3m - 2)x - 6 = 0$中，$a = 2$，$b = 3m - 2$，所以$x_1 + x_2 = -\frac{3m - 2}{2}$。
由$x_1 + x_2 = 0$，得$-\frac{3m - 2}{2} = 0$，
解得$3m - 2 = 0$，$3m = 2$，$m = \frac{2}{3}$。
当$m = \frac{2}{3}$时，原方程为$2x^2 - 6 = 0$，判别式$\Delta = 0^2 - 4×2×(-6) = 48 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
综上，$m$的值为$\frac{2}{3}$。
因为两根互为相反数，所以$x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
在方程$2x^{2}+(3m - 2)x - 6 = 0$中，$a = 2$，$b = 3m - 2$，所以$x_1 + x_2 = -\frac{3m - 2}{2}$。
由$x_1 + x_2 = 0$，得$-\frac{3m - 2}{2} = 0$，
解得$3m - 2 = 0$，$3m = 2$，$m = \frac{2}{3}$。
当$m = \frac{2}{3}$时，原方程为$2x^2 - 6 = 0$，判别式$\Delta = 0^2 - 4×2×(-6) = 48 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
综上，$m$的值为$\frac{2}{3}$。
19. （6分）已知$T=(a + 3b)^{2}+(2a + 3b)(2a - 3b)+a^{2}$。
（1）化简$T$；
（2）若关于$x$的方程$x^{2}+2ax - ab + 1 = 0$有两个相等的实数根，求$T$的值。
（1）化简$T$；
（2）若关于$x$的方程$x^{2}+2ax - ab + 1 = 0$有两个相等的实数根，求$T$的值。
答案：
$(1)$化简$T$
解：
根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，平方差公式$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$对$T=(a + 3b)^{2}+(2a + 3b)(2a - 3b)+a^{2}$进行化简：
对于$(a + 3b)^{2}$，根据完全平方公式可得$(a + 3b)^{2}=a^{2}+6ab + 9b^{2}$；
对于$(2a + 3b)(2a - 3b)$，根据平方差公式可得$(2a + 3b)(2a - 3b)=(2a)^{2}-(3b)^{2}=4a^{2}-9b^{2}$。
将上述结果代入$T$可得：
$\begin{aligned}T&=a^{2}+6ab + 9b^{2}+4a^{2}-9b^{2}+a^{2}\\&=(a^{2}+4a^{2}+a^{2})+6ab+(9b^{2}-9b^{2})\\&=6a^{2}+6ab\end{aligned}$
$(2)$求$T$的值
解：
对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
已知方程$x^{2}+2ax - ab + 1 = 0$有两个相等的实数根，其中$A = 1$，$B = 2a$，$C=-ab + 1$，则$\Delta=(2a)^{2}-4×1×(-ab + 1)=0$。
化简$(2a)^{2}-4×1×(-ab + 1)=0$：
$\begin{aligned}4a^{2}+4ab-4&=0\\a^{2}+ab - 1&=0\\a^{2}+ab&=1\end{aligned}$
由$(1)$知$T = 6a^{2}+6ab$，提取公因式$6$可得$T=6(a^{2}+ab)$。
把$a^{2}+ab = 1$代入$T=6(a^{2}+ab)$，得$T = 6×1=6$。
综上，答案依次为：$(1)$$T = 6a^{2}+6ab$；$(2)$$6$。
解：
根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，平方差公式$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$对$T=(a + 3b)^{2}+(2a + 3b)(2a - 3b)+a^{2}$进行化简：
对于$(a + 3b)^{2}$，根据完全平方公式可得$(a + 3b)^{2}=a^{2}+6ab + 9b^{2}$；
对于$(2a + 3b)(2a - 3b)$，根据平方差公式可得$(2a + 3b)(2a - 3b)=(2a)^{2}-(3b)^{2}=4a^{2}-9b^{2}$。
将上述结果代入$T$可得：
$\begin{aligned}T&=a^{2}+6ab + 9b^{2}+4a^{2}-9b^{2}+a^{2}\\&=(a^{2}+4a^{2}+a^{2})+6ab+(9b^{2}-9b^{2})\\&=6a^{2}+6ab\end{aligned}$
$(2)$求$T$的值
解：
对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
已知方程$x^{2}+2ax - ab + 1 = 0$有两个相等的实数根，其中$A = 1$，$B = 2a$，$C=-ab + 1$，则$\Delta=(2a)^{2}-4×1×(-ab + 1)=0$。
化简$(2a)^{2}-4×1×(-ab + 1)=0$：
$\begin{aligned}4a^{2}+4ab-4&=0\\a^{2}+ab - 1&=0\\a^{2}+ab&=1\end{aligned}$
由$(1)$知$T = 6a^{2}+6ab$，提取公因式$6$可得$T=6(a^{2}+ab)$。
把$a^{2}+ab = 1$代入$T=6(a^{2}+ab)$，得$T = 6×1=6$。
综上，答案依次为：$(1)$$T = 6a^{2}+6ab$；$(2)$$6$。
20. （6分）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右的页边距分别为$a\mathrm{cm}$、$b\mathrm{cm}$、$c\mathrm{cm}$、$d\mathrm{cm}$。若纸张大小为$16\mathrm{cm}×10\mathrm{cm}$，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的$70\%$，则需如何设置页边距？
答案：
设页边距为 $x$ cm，则打印区域的长为 $(16 - 2x)$ cm，宽为 $(10 - 2x)$ cm。
根据题意，打印区域的面积占纸张面积的 $70\%$，即：
$(16 - 2x)(10 - 2x) = 16 × 10 × 0.7$，
展开并整理得：
$160 - 32x - 20x + 4x^2 = 112$，
$4x^2 - 52x + 48 = 0$，
$x^2 - 13x + 12 = 0$，
通过因式分解法，得：
$(x - 1)(x - 12) = 0$，
解得：
$x_1 = 1, \quad x_2 = 12$，
由于 $x = 12$ 不符合实际情况（页边距过大，打印区域将不存在），所以舍去。
因此，页边距应设置为 $1$ cm。
根据题意，打印区域的面积占纸张面积的 $70\%$，即：
$(16 - 2x)(10 - 2x) = 16 × 10 × 0.7$，
展开并整理得：
$160 - 32x - 20x + 4x^2 = 112$，
$4x^2 - 52x + 48 = 0$，
$x^2 - 13x + 12 = 0$，
通过因式分解法，得：
$(x - 1)(x - 12) = 0$，
解得：
$x_1 = 1, \quad x_2 = 12$，
由于 $x = 12$ 不符合实际情况（页边距过大，打印区域将不存在），所以舍去。
因此，页边距应设置为 $1$ cm。
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