《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册苏科版苏州专版》

24. （8分）如图，$AB$是$\odot O$的直径，$AC$是$\odot O$的弦，$D$是$\overset{\frown}{AC}$上一点，$P$是$AB$的延长线上的一点，连接$AD$、$DC$、$CP$.
（1）求证：$∠ADC-∠BAC=90^{\circ}$；
（2）若$∠ACP=∠ADC$，$\odot O$的半径为3，$CP=4$，求$AP$的长.

答案： （1）见证明过程；（2）8。

25. （10分）如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径的$\odot O$交边$AC$于点$D$，连接$BD$，过点$C$作$CE// AB$.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点$B$作$\odot O$的切线，交$CE$于点$F$（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；
（2）在（1）的条件下，求证：$BD=BF$.

答案：
（1）
（2）证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵CE//AB，
∴∠ABC=∠ECB（两直线平行，内错角相等），
∴∠ACB=∠ECB，即BC平分∠ACE。
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°（直径所对圆周角是直角），
∴∠BDC=90°。
∵BF是⊙O切线，
∴∠ABF=90°（切线垂直于半径）。
∵CE//AB，
∴∠BFC=∠ABF=90°（两直线平行，内错角相等）。
在△BDC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BDC=∠BFC=90°\\∠BCD=∠BCF\\BC=BC\end{array}\right.$
∴△BDC≌△BFC（AAS），
∴BD=BF。