《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册冀教版》

10.(2021河北中考,13,)定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
已知：如图,∠ACD是△ABC的外角.

求证：∠ACD = ∠A + ∠B.
|证法1|∵ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°(三角形内角和定理),∠ACD + ∠ACB = 180°(平角定义),∴ ∠ACD + ∠ACB = ∠A + ∠B + ∠ACB(等量代换),∴ ∠ACD = ∠A + ∠B(等式的性质).|
|证法2|∵ ∠A = 76°,∠B = 59°,∠ACD = 135°(量角器测量所得),且135° = 76° + 59°(计算所得),∴ ∠ACD = ∠A + ∠B(等量代换).|
下列说法正确的是 (　　　)
A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整
B.证法1用严谨的推理证明了该定理
C.证法2用特殊到一般法证明了该定理
D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理

答案： B
∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发，经过严谨的推理论证，得出结论正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A的说法不正确，不符合题意，B的说法正确，符合题意.
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，且与测量次数无关，
∴C的说法不正确，不符合题意，D的说法不正确，不符合题意.

11.(2023湖北十堰中考,13,)一副三角尺按如图所示的方式放置,点A在DE上,点F在BC上,若∠EAB = 35°,则∠DFC = ________.

答案：
答案 100°
解析 如图，假设AC与DF相交于点G，

由题意得∠BAC = 60°，∠C = 30°，∠D = 45°，
∵∠EAB = 35°，
∴∠CAD = 180° - ∠EAB - ∠BAC = 85°，
∴∠AGD = 180° - ∠D - ∠CAD = 50°，
∴∠CGF = ∠AGD = 50°，
∴∠DFC = 180° - ∠C - ∠CGF = 100°.

12.新考向·规律探究试题 (2024四川达州中考,14,)如图,在△ABC中,AE₁,BE₁分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分线,且∠E₁AD = $\frac{1}{3}$∠CAB,∠E₁BD = $\frac{1}{3}$∠CBD,在△ABE₁中,AE₂,BE₂分别是内角∠E₁AB,外角∠E₁BD的三等分线,且∠E₂AD = $\frac{1}{3}$∠E₁AB,∠E₂BD = $\frac{1}{3}$∠E₁BD,……,以此规律作下去,若∠C = m,则∠Eₙ的度数为______.

答案： 答案 $\frac{m}{3^{n}}$
解析 ∠E₁ = ∠E₁BD - ∠E₁AD
= $\frac{1}{3}$∠CBD - $\frac{1}{3}$∠CAB
= $\frac{1}{3}$∠C = $\frac{m}{3}$.
同理可得∠E₂ = $\frac{1}{3^{2}}$∠C = $\frac{m}{3^{2}}$，
∴∠Eₙ = $\frac{1}{3^{n}}$∠C = $\frac{m}{3^{n}}$.

13.(2024江苏徐州期中,22,)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.(M7210002)
(1)若∠B = 40°,∠E = 25°,求∠BAC的度数.
(2)探究∠BAC,∠B,∠E的关系,并说明理由.

答案： 解析
(1)
∵∠B = 40°，∠E = 25°，
∴∠DCE = ∠B + ∠E = 65°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD = 2∠DCE = 130°，
∴∠ACB = 180° - 130° = 50°，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 90°.
(2)∠BAC = ∠B + 2∠E.
理由：
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE = ∠ACE，
∵∠BAC = ∠E + ∠ACE，
∴∠BAC = ∠E + ∠DCE，
∵∠DCE = ∠B + ∠E，
∴∠BAC = ∠E + ∠B + ∠E，
∴∠BAC = ∠B + 2∠E.

14.推理能力 如图,∠B = 90°,△ABC两外角的平分线交于点D,求∠D的度数.(M7210002)

答案： 解析 由题意知∠B = 90°，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴∠2 = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠ACB)，∠3 = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠BAC)，
∴∠2 + ∠3 = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠ACB + ∠B + ∠BAC) = $\frac{1}{2}$×(180° + 90°) = 135°，
在△ACD中，∠D = 180° - (∠2 + ∠3) = 180° - 135° = 45°. 故∠D的度数为45°.