《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册冀教版》

13. [教材变式]用简便方法计算:(M7209001)
(1) $\frac{1}{4}\times25.3 + 0.25\times78.6 - 3.9\times\frac{1}{4}$.
(2) $202^{2}-404$.
(3) $\frac{1}{5}\times25.6\times13 + 24.4\times0.2\times13 - 13\times40\times\frac{1}{5}$.

答案： 解析
(1)原式 = $\frac{1}{4}$×(25.3 + 78.6 - 3.9) = $\frac{1}{4}$×100 = 25.
(2)原式 = 202² - 2×202 = 202×(202 - 2) = 202×200 = 40400.
(3)原式 = 0.2×13×(25.6 + 24.4 - 40) = 0.2×13×10 = 26.

14. [易错题](2024河北邯郸模拟,5,★☆☆)把$-6a^{3}+4a^{2}-2a$分解因式时，提取公因式后，另一个因式是(M7209001) ( )
A. $3a^{2}-2a + 1$
B. $6a^{2}-4a + 2$
C. $3a^{2}-2a$
D. $3a^{2}+2a - 1$

答案： A - 6a³ + 4a² - 2a = - 2a(3a² - 2a + 1)，故选A.
易错警示
当多项式的第一项的符号是负号时，公因式的符号应为负号，提出公因式后，另一个因式的项数和原多项式的项数相同，且符号都要改变，本题易发生符号不改变或项数变少的错误.

15. (2024河北石家庄模拟,5,★☆☆)整式$A = x - 1$，$B = x^{2}-x$，下列结论:
结论一:$A\cdot x = B$.
结论二:$A$，$B$的公因式为$x$.
下列判断正确的是(M7209001) ( )
A. 结论一正确，结论二不正确
B. 结论一不正确，结论二正确
C. 结论一、结论二都正确
D. 结论一、结论二都不正确

答案： A B = x² - x = x(x - 1)，则A·x = B，
∴A，B的公因式是x - 1，
∴结论一正确，结论二不正确，故选A.

16. (2024河北邯郸十中模拟,6,★☆☆)利用因式分解计算$2023\times2024 - 2023^{2}=$(M7209001) ( )
A. 1
B. 2023
C. 2024
D. $2023^{2}$

答案： B 2023×2024 - 2023² = 2023×(2024 - 2023) = 2023×1 = 2023. 故选B.

17. (2023河北石家庄栾城期末,5,★☆☆)如图，有一张边长为$b$的正方形纸板，在它的四角各剪去一个边长为$a$的正方形，然后将四周凸出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒。用$M$表示其底面积与侧面积的差，则$M$可因式分解为 ( )

A. $(b - 6a)(b - 2a)$
B. $(b - 3a)(b - 2a)$
C. $(b - 5a)(b - a)$
D. $(b - 2a)^{2}$

答案： A 长方体纸盒的底面积为(b - 2a)²，
侧面积为4a(b - 2a)，
∴M = (b - 2a)² - 4a(b - 2a)，
提取公因式(b - 2a)，得M = (b - 2a)(b - 2a - 4a) = (b - 2a)(b - 6a). 故选A.

18. [新考法](2024安徽宿州期中,21,★★☆)父亲今年$x$岁，儿子今年$y$岁，父亲比儿子大26岁，并且$x^{2}-xy = 1040$，请你求出父亲和儿子今年各多少岁.(M7209001)

答案： 解析 本题考查利用因式分解的方法解决实际问题的能力，解题过程中借助提公因式法分解因式，使运算简便.
由题意得x - y = 26，
∵x² - xy = x(x - y) = 1040，
∴26x = 1040，解得x = 40，
y = x - 26 = 40 - 26 = 14.
答：父亲和儿子今年分别是40岁、14岁.

19. [运算能力]阅读下列因式分解的过程，回答所提出的问题。
$1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}=(1 + x)[1 + x+x(x + 1)]=(1 + x)^{2}(1 + x)=(1 + x)^{3}$.
(1) 上述分解因式的方法是________________.
(2) 分解因式$1 + x+x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+\cdots+x(x + 1)^{2023}$的结果是____________.
(3) 利用(2)中的结论计算:$5 + 5^{2}+5^{3}+\cdots+5^{2023}$.

答案： 解析
(1)提公因式法.
(2)(1 + x)²⁰²⁴.
详解：原式 = (1 + x)[1 + x + x(x + 1) + … + x(x + 1)²⁰²²]
= (1 + x)²[1 + x + x(x + 1) + … + x(x + 1)²⁰²¹]
……
= (1 + x)²⁰²⁴.
(3)原式 = $\frac{1}{4}$×4×(5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰²³)
= $\frac{1}{4}$×(4×5 + 4×5² + 4×5³ + … + 4×5²⁰²³)
= $\frac{1}{4}$×(1 + 4 + 4×5 + 4×5² + 4×5³ + … + 4×5²⁰²³) - $\frac{5}{4}$
= $\frac{(1 + 4)^{2024}}{4}$ - $\frac{5}{4}$
= $\frac{5^{2024}-5}{4}$.