《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册冀教版》

20. 新考法 (2023河北廊坊霸州实验中学月考,19,★★☆)小明用一副三角尺自制对顶角“小仪器”,第一步固定直角三角尺ABC,并将边AC延长至点P,第二步将另一块三角尺CDE的直角顶点与三角尺ABC的直角顶点重合,如图所示.延长DC至点F,∠PCD与∠ACF就是一组对顶角.

(1)若∠ACF = 30°,则∠PCD =________.
(2)若重叠部分中∠BCE = n°(0 ＜ n ＜ 90),则∠PCF =________.

答案： 答案
(1)30°
(2)180° - n°
解析 本题通过自制对顶角的“小仪器”，培养了学生对对顶角的理解与应用能力.
(1)若∠ACF=30°，则∠PCD=30°，理由是对顶角相等.
(2)由题意可得∠ACD+∠BCE=∠ACB+∠BCD+∠BCE=∠ACB+∠DCE=180°，
所以∠ACD=180° - ∠BCE=180° - n°，
所以∠PCF=∠ACD=180° - n°.

21. (2024河北邢台月考,21,★★☆)如图,直线AB和CD交于点O,射线OE,OF在∠AOD的内部.（M7207003）
(1)若∠BOD = 50°,∠COE = 115°,求∠AOE的度数.
(2)若OE平分∠AOD,OF⊥CD,∠BOD = α,求∠EOF的度数(用含α的式子表示).

答案： 解析
(1)
∵直线AB和CD交于点O，∠BOD=50°，
∴∠AOC=∠BOD=50°，
∵∠COE=115°，
∴∠AOE=∠COE - ∠AOC=115° - 50°=65°.
(2)
∵直线AB和CD交于点O，∠BOD=α，
∴∠AOD=180° - ∠BOD=180° - α，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×(180° - α)=90°-$\frac{\alpha}{2}$，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠EOF=∠DOF - ∠DOE=90°-(90°-$\frac{\alpha}{2}$)=$\frac{\alpha}{2}$.

22. 推理能力 新考向·规律探究试题 观察图中的各图形,寻找对顶角(不含平角):（M7207002）

(1)图a中,共有________对不同的对顶角.
(2)图b中,共有________对不同的对顶角.
(3)图c中,共有________对不同的对顶角.
(4)研究(1)~(3)中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可形成________对不同的对顶角.

答案： 答案
(1)2
(2)6
(3)12
(4)n(n - 1)

23. 推理能力 (2024河北邢台期中)如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,FO⊥OE.（M7207003）
(1)如果∠AOC = 66°,求∠AOD,∠BOE的度数.
(2)如果∠AOC∶∠AOD = 2∶3,求∠FOD的度数.
(3)写出图中所有与∠DOE互余的角.

答案： 解析
(1)
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC+∠AOD=180°，∠BOD=∠AOC，
∵∠AOC=66°，
∴∠AOD=180° - ∠AOC=114°，∠BOD=∠AOC=66°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=33°.
(2)
∵∠AOC：∠AOD=2：3，
∴设∠AOC=2α，∠AOD=3α，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴2α+3α=180°，
解得α=36°，
∴∠AOC=2α=72°，
∴∠BOD=∠AOC=72°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=36°.
∵FO⊥OE，
∴∠FOE=90°，
∴∠FOD=∠FOE - ∠DOE=90° - 36°=54°.
(3)
∵FO⊥OE，
∴∠DOE+∠FOD=90°，∠AOF+∠BOE=90°，
即∠DOE与∠FOD互余，
又
∵∠BOE=∠DOE，
∴∠AOF+∠DOE=90°，
即∠DOE与∠AOF互余.
综上所述，题图中与∠DOE互余的角有∠FOD和∠AOF.