《2025年5年中考3年模拟七年级数学下册冀教版》

15.推理能力 新考向.新定义试题 数学课上老师给出规定:如果两个数的平方差能被4整除,我们称这个算式是“佳偶和谐式”.
　小亮写出如下算式:8² - 6² = 7×4;14² - 12² = 13 ×4;106² - 104² = 105×4.
　发现:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除,这些算式都是“佳偶和谐式”.
　(1)验证:22² - 20²是“佳偶和谐式”.
　(2)证明:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除,这些算式都是“佳偶和谐式”.
　(3)小红通过小亮的结论推广得到一个命题:任意两个偶数的平方差都能被4整除,这些算式都是“佳偶和谐式”,直接判断此命题是真命题还是假命题:(M7209002)

答案： 解析
(1)证明：$\because 22^{2}-20^{2}=21\times4$，$\therefore 22^{2}-20^{2}$是“佳偶和谐式”.
(2)证明：设这两个连续偶数分别为$2n$，$2n + 2$（$n$为整数），则$(2n + 2)^{2}-(2n)^{2}=(2n + 2 + 2n)(2n + 2 - 2n)=2(4n + 2)=4(2n + 1)$，$\therefore$任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”.
(3)该命题是真命题.
详解：设任意两个偶数分别为$2a$，$2b$（$a$，$b$均为整数），$\therefore (2a)^{2}-(2b)^{2}=(2a + 2b)(2a - 2b)=4(a + b)(a - b)$，$\therefore$任意两个偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”，$\therefore$该命题是真命题.

1.把1 - a² - b² - 2ab分解因式,正确的分组为　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.1-(a² + b² + 2ab)
B.(1 - a²)-(b² + 2ab)
C.(1 - 2ab)+(-a² - b²)
D.(1 - a² - b²)-2ab

答案： A 把后三项为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式继续分解因式即可.

2.多项式x²y² - y² - x² + 1因式分解的结果是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.(x² + 1)(y² + 1)
B.(x - 1)(x + 1)(y² + 1)
C.(x² + 1)(y + 1)(y - 1)
D.(x + 1)(x - 1)(y + 1)(y - 1)

答案： D $x^{2}y^{2}-y^{2}-x^{2}+1=y^{2}(x^{2}-1)-(x^{2}-1)=(y^{2}-1)(x^{2}-1)=(y - 1)(y + 1)(x - 1)(x + 1)$. 故选D.

3.因式分解:(1)a³ - 3a² + 6a - 18.
　　　　　　　　　　　　　　　(2)ax + a² - 2ab - bx + b².

答案： 解析
(1)$a^{3}-3a^{2}+6a - 18=a^{2}(a - 3)+6(a - 3)=(a - 3)(a^{2}+6)$.
(2)$ax + a^{2}-2ab - bx + b^{2}=(a^{2}-2ab + b^{2})+(ax - bx)=(a - b)^{2}+x(a - b)=(a - b)(a - b + x)$.