《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

4. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来推导证明$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.请你写出推导过程.

答案： 设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c。该图形的面积可以看作是一个梯形的面积，梯形的上底为a，下底为b，高为$a + b$，则梯形面积为$\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}(a + b)^{2}$。同时，该图形的面积也可以看作是三个三角形的面积之和，即两个直角三角形和一个等腰直角三角形，面积分别为$\frac{1}{2}ab$、$\frac{1}{2}ab$和$\frac{1}{2}c^{2}$，所以总面积为$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}=ab+\frac{1}{2}c^{2}$。因此，$\frac{1}{2}(a + b)^{2}=ab+\frac{1}{2}c^{2}$，展开左边得$\frac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})=ab+\frac{1}{2}c^{2}$，两边同乘2得$a^{2}+2ab + b^{2}=2ab + c^{2}$，化简可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。