《2026年秒杀中考数学安徽专版》

14. 如图，在矩形$ABCD$中，点$E$为边$AD$上一点，将$\triangle AEB$沿$BE$翻折到$\triangle BEF$处。
(1)若$\angle CBF = 26°$，则$\angle DEF$的度数是64°。
(2)延长$EF$交边$BC$于点$G$，延长$BF$交边$CD$于点$H$。若$AB = 4$，$BC = 6$，且$FH = CH$，则$AE$的长为$\frac{8}{3}$。

答案：
14.
(1)64
(2)$\frac{8}{3}$ 【解析】
(1)
∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处,
∴∠ABE=∠EBF,∠AEB=∠BEF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠EBF+∠CBF=90°,∠ABE+∠AEB=90°,
∴2∠ABE+26°=90°,解得∠ABE=32°,
∴32°+∠AEB=90°,解得∠AEB=58°,
∴∠BEF=58°,
∴∠DEF=180°-∠AEB-∠BEF=64°.
故答案为64.
(2)过点F作FK⊥CD于点K,作FI⊥AD于点I,过点H作HJ⊥FI于点J,

则∠FKH=∠KHJ=∠FJH=∠HJI=∠FID=∠AIF=90°.
∵∠C=∠D=90°,AB=4,
∴BF=AB=4.
∵FH=CH,
∴BH=BF+FH=4+CH.
∵BC²+CH²=BH²,
∴6²+CH²=(4+CH)²,
解得CH=2.5,
∴BH=4+CH=4+2.5=6.5,DH=DC-CH=4-2.5=1.5.
∵∠FKH=90°,∠C=90°,
∴FK//BC,
∴$\frac{HF}{BH}$=$\frac{FK}{BC}$=$\frac{HK}{HC}$,
$\frac{2.5}{6.5}$=$\frac{FK}{6}$=$\frac{HK}{2.5}$,
∴FK=$\frac{30}{13}$,HK=$\frac{25}{26}$.
∵IF=DK=KH+DH=$\frac{32}{13}$,ID=FK=$\frac{30}{13}$,
∴IE=AD-AE-DI=6-AE-$\frac{30}{13}$=$\frac{48}{13}$-AE.
由勾股定理可得EI²+FI²=EF²,
∴($\frac{48}{13}$-AE)²+($\frac{32}{13}$)²=AE²,
∴AE=$\frac{8}{3}$.
故答案为$\frac{8}{3}$.

15. 先化简，再求值：$\left( \frac{x^2}{x - 2} - x \right) ÷ \frac{x}{x^2 - 4x + 4}$，其中$x = -3$。

答案： 15.解：($\frac{x²}{x - 2}$ - x)÷$\frac{x}{x² - 4x + 4}$
=($\frac{x² - x(x - 2)}{x - 2}$)·$\frac{x² - 4x + 4}{x}$(2分)
=($\frac{x² - x² + 2x}{x - 2}$)·$\frac{(x - 2)²}{x}$
=$\frac{2x}{x - 2}$·$\frac{(x - 2)²}{x}$(4分)
=2(x - 2)
=2x - 4.(6分)
当x = -3时,原式=2×(-3) - 4 = -10.(8分)

16. 樱桃是安徽特产水果，每年5~6月成熟上市，这种水果圆润香甜，富含维生素C，具有生津止渴的功效。某果农将采摘的樱桃分装为大箱和小箱销售，已知2个大箱和3个小箱共装樱桃17 kg，4个大箱和1个小箱共装樱桃19 kg，求每个大箱和每个小箱各装多少千克的樱桃。

答案： 16.解:设每个大箱装xkg的樱桃,每个小箱装ykg的樱桃,(2分)
则$\begin{cases}2x + 3y = 17\\4x + y = 19\end{cases}$(4分)
解得$\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$(6分)
即每个大箱装4kg的樱桃,每个小箱装3kg 的樱桃.
答:每个大箱装4kg的樱桃,每个小箱装3kg 的樱桃.(8分)

17. 【核心素养·推理能力】观察以下等式：
第1个等式：$1 × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$；
第2个等式：$2 × \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 2$；
第3个等式：$3 × \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = 3$；
第4个等式：$4 × \frac{4}{5} + \frac{4}{5} = 4$；
……
依照上述规律解答问题：
(1)直接写出第5个等式为5×$\frac{5}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = 5。
(2)猜想第$n$个等式为n×$\frac{n}{n + 1}$ + $\frac{n}{n + 1}$ = n($n$为正整数，用含$n$的式子表示)。
(3)请利用分式的运算证明你的猜想。

答案： 17.解：
(1)5×$\frac{5}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = 5.(2分)
(2)n×$\frac{n}{n + 1}$ + $\frac{n}{n + 1}$ = n.(4分)
(3)证明:n×$\frac{n}{n + 1}$ + $\frac{n}{n + 1}$
=$\frac{n²}{n + 1}$ + $\frac{n}{n + 1}$
=$\frac{n² + n}{n + 1}$
=$\frac{n(n + 1)}{n + 1}$
=n.(8分)