《2026年秒杀中考数学安徽专版》

9. 已知反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$在第一象限内的图象与一次函数$y = -x + b$的图象如图所示，则函数$y = x^2 - bx + k - 1$的图象可能为(A)


 .

答案：
9.A　[解析]本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、二次函数的图象识别.
　　　　　　　
　如图，设点A的坐标为$(1,k)$，则点B的坐标为$(k,1)$，且$k ＞ 1$.
　将点$B(k,1)$代入$y = -x + b$，得$1 = -k + b$，
　则$k = b - 1 ＞ 1$，$\therefore b ＞ 2$.
　$\because y = x^{2} - bx + k - 1 = x^{2} - bx + b - 2 = (x - \frac{b}{2})^{2} + \frac{b^{2}}{4} + b - 2$，
　$\therefore$函数$y = x^{2} - bx + k - 1$的图象的对称轴为直线$x = \frac{b}{2} ＞ 1$，在直线$x = 1$的右侧.
　$\because$当$x = 1$时，$y = 1 - b + b - 2 = -1$，
　当$x = 0$时，$y = b - 2 ＞ 0$，
　$\therefore$函数$y = x^{2} - bx + k - 1$的图象经过点$(1, -1)$，与$y$轴的交点在$x$轴上方.
　综上所述，在四个图象中，只有A选项符合.

10. 如图，$E$是线段$AB$上一点，$\triangle ADE$和$\triangle BCE$是位于直线$AB$同侧的两个等边三角形，点$P$，$F$分别是$CD$，$AB$的中点。若$AB = 4$，则下列结论中错误的是(A)

A.$PA + PB$的最小值为$3\sqrt{3}$
B.$PE + PF$

的

最小值为$2\sqrt{3}$
C.$\triangle CDE$周长的最小值为$6$
D.四边形$ABCD$面积的最小值为$3\sqrt{3}$

答案：
10.A　[解析]本题考查几何图形的最值问题，涉及轴对称求最值、三点共线最值、利用二次函数求最值，综合性很强，求出点P的运动路径是解题的关键.
　　　　　
$\because \triangle ADE$和$\triangle BCE$是等边三角形，
$\therefore \angle DEA = \angle QBA = 60^{\circ}$，$\angle CEB = \angle QAB = 60^{\circ}$，
$\therefore DE // BQ$，$CE // AQ$，
$\therefore$四边形DECQ是平行四边形.
$\because$点P为线段CD的中点，$\therefore EP = \frac{1}{2}EQ$.
$\because$点E在线段AB上运动，
$\therefore$点P在线段MN上运动.
由$AB = 4$，知等边三角形ABQ的高为$2\sqrt{3}$，则点P到直线AB的距离为$\sqrt{3}$.
作A关于直线MN的对称点$A'$，连接$A'B$，当点P运动到$A'$，$P$，$B$共线时，$PA + PB = PA' + PB$最小，此时$PA + PB$最小值为$A'B = \sqrt{AA'^{2} + AB^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3})^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{7}$，故选项A错误，符合题意；
$\because PQ = PE$，$\therefore PE + PF = PQ + PF$，
$\therefore$当$Q$，$P$，$F$三点共线时，$PE + PF$最小，最小值为QF的长度.
$\because F$为AB的中点，$\therefore QF \perp AB$，
$\therefore QF$为等边三角形ABQ的高，
$\therefore PE + PF$的最小值为$2\sqrt{3}$，故选项B正确，不符合题意；
如图，过点D作$DK \perp AB$于点K，过点C作$CT \perp AB$于点T，
　　　　　
$\because \triangle ADE$和$\triangle BCE$都是等边三角形，
$\therefore KE = \frac{1}{2}AE$，$TE = \frac{1}{2}BE$，
$\therefore KT = KE + TE = \frac{1}{2}AB = 2$，
$\therefore CD \geq 2$，
$\therefore DE + CE + CD = AE + BE + CD = AB + CD \geq 6$，
$\therefore \triangle CDE$周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；
设$AE = 2m$，则$BE = 4 - 2m$，
$\therefore AK = KE = m$，$BT = ET = 2 - m$，
$DK = \sqrt{3}AK = \sqrt{3}m$，$CT = \sqrt{3}BT = 2\sqrt{3} - \sqrt{3}m$，
$\therefore S_{\triangle ADK} = \frac{1}{2} · m · \sqrt{3}m = \frac{\sqrt{3}}{2}m^{2}$，$S_{\triangle BCT} = \frac{1}{2}(2 - m) · (2\sqrt{3} - \sqrt{3}m) = \frac{\sqrt{3}}{2}m^{2} - 2\sqrt{3}m + 2\sqrt{3}$，
$S_{梯形DKTC} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}m + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}m) · 2 = 2\sqrt{3}$，
$\therefore S_{四边形ABCD} = \frac{\sqrt{3}}{2}m^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}m^{2} - 2\sqrt{3}m + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}m^{2} - 2\sqrt{3}m + 4\sqrt{3} = \sqrt{3}(m - 1)^{2} + 3\sqrt{3}$，
$\therefore$当$m = 1$时，四边形ABCD面积的最小值为$3\sqrt{3}$，故选项D正确，不符合题意.

11. 计算：$\sqrt[3]{8} + 1 = $3$$。

答案： 11.3　[解析]本题考查求一个数的立方根.
$\sqrt[3]{8} + 1 = 2 + 1 = 3$.

12. 据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中74.5亿用科学记数法表示为$$7.45×10⁹$$。

答案： 12.$7.45 × 10^{9}$　[解析]本题考查科学记数法.
74.5亿$= 74.5 × 10^{8} = 7.45 × 10^{9}$.

13. 数学文化 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，$AD$是锐角$\triangle ABC$的高，则$BD = \frac{1}{2}\left(BC + \frac{AB^2 - AC^2}{BC}\right)$。当$AB = 7$，$BC = 6$，$AC = 5$时，$CD = $1$$。

答案： 13.1　[解析]本题考查三角形的高的定义.
$\because AB = 7$，$BC = 6$，$AC = 5$，
$\therefore BD = \frac{1}{2}(\frac{AB^{2} - AC^{2}}{BC} + BC) = \frac{1}{2}(\frac{49 - 25}{6} + 6) = 5$，
$\therefore CD = BC - BD = 1$.

14. 如图，$O$是坐标原点，$Rt\triangle OAB$的直角顶点$A$在$x$轴的正半轴上，$AB = 2$，$\angle AOB = 30°$，反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \gt 0)$的图象经过斜边$OB$的中点$C$。
(1)$k = $√3$$。
(2)$D$为该反比例函数图象上的一点，若$DB // AC$，则$OB^2 - BD^2$的值为$$4$$。

答案：
14.
(1)$\sqrt{3}$
(2)4　[解析]本题考查反比例函数与几何图形、勾股定理等知识.
(1)$\because AB = 2$，$\angle AOB = 30^{\circ}$，$\angle OAB = 90^{\circ}$，
$\therefore OA = 2\sqrt{3}$，$OB = 2AB = 4$，
$\therefore A(2\sqrt{3},0)$，$B(2\sqrt{3},2)$.
$\because$点C是OB的中点，
$\therefore$易得点C的坐标为$(\sqrt{3},1)$.
$\because$反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图象经过点C，
$\therefore$将$C(\sqrt{3},1)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$k = \sqrt{3}$.
(2)$\because \angle AOB = 30^{\circ}$，$\angle OAB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle OBA = 60^{\circ}$.
$\because$点C是边OB的中点，$\therefore AC = BC$，
$\therefore \angle CAB = 60^{\circ}$.
$\because DB // AC$，$\therefore \angle DBA = 60^{\circ}$.
如图，过点D作$DE \perp AB$，垂足为点E.
设$BE = m(m ＞ 0)$，则$DE = \sqrt{3}m$，$BD = 2m$，点D的坐标为$(2\sqrt{3} + \sqrt{3}m,2 - m)$.
　　　　
$\because$点D为反比例函数$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$图象上的一点，
$\therefore (2\sqrt{3} + \sqrt{3}m)(2 - m) = \sqrt{3}$，解得$m = \sqrt{3}$（负值舍去），
$\therefore BD = 2m = 2\sqrt{3}$，
$\therefore OB^{2} - BD^{2} = (2\sqrt{3})^{2} + 2^{2} - (2\sqrt{3})^{2} = 4$.

15. 核心素养·运算能力 先化简，再求值：$\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}$，其中$x = \sqrt{2} - 1$。

答案： 15.[解析]本题考查分式化简求值.先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解.
[解题过程]
解：原式$= \frac{(x + 1)^{2}}{x + 1} = x + 1$.(6分)
当$x = \sqrt{2} - 1$时，原式$= \sqrt{2} - 1 + 1 = \sqrt{2}$.(8分)