《2026年秒杀中考数学安徽专版》

22. 如图1，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，点$D$为边$AB$中点，点$E$，$F$分别在边$AC$，$BC$上，连接$DE$，$DF$和$EF$，$ED \perp DF$，连接$BE$。
(1) 求证：$\angle AED = \angle CFD$。
(2) 连接$EF$，设$\angle CBE = k \angle ADE$。
(i) 当$k = 1$时，求$\frac{CF}{BF}$的值；
(ii) 如图2，当$k = 2$时，求$\tan \angle CFE$的值。

答案：
22.解：
(1)证明：由条件可知∠CAD = ∠CBD = 45°.
∵点D为边AB中点，
∴CD⊥AB，
∠ACD = ∠BCD = 45° = ∠CAD = ∠CBD，
∴AD = BD = $\frac{1}{2}$AB = CD，
∴∠EDF = 90° = ∠ADC = ∠CDB，
∴∠ADE = ∠CDF.
在△AED和△CFD中，$\begin{cases}\angle ADE = \angle CDF \\ AD = CD \\ \angle EAD = \angle FCD\end{cases}$，
∴△AED≌△CFD(ASA)，
∴∠AED = ∠CFD.(3分)
(2)
∵∠EDF = 90° = ∠CDB，
∴∠EDF - ∠CDF = ∠CDB - ∠CDF，即∠CDE = ∠BDF.
在△CDE和△BDF中，$\begin{cases}CD = BD \\ \angle CDE = \angle DBF\end{cases}$，
∴△CDE≌△BDF(ASA)，
∴CE = BF.(4分)
(i)当k = 1时，则∠CBE = ∠ADE.
设CF = a，CE = BF = b.
由条件可知∠ECF + ∠EDF = 180°，
∴四边形DECF内接于直径为EF的圆，
如图.

∵圆周角∠CEF，∠CDF所对的弧为$\overset{\frown}{CF}$，
∴∠CEF = ∠CDF.
由
(1)知∠ADE = ∠CDF，
∴∠CEF = ∠CBE.
∵∠ECF = ∠BCE = 90°，
∴△CEF∽△CBE，
∴$\frac{CE}{CB}$ = $\frac{CF}{CE}$，即CE² = CF·CB，
∴b² = a(a + b)，
整理，得$(\frac{a}{b})^{2}$ + $\frac{a}{b}$ - 1 = 0，
解得$\frac{a}{b}$ = $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$或$\frac{a}{b}$ = $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$(负值不符合题意，舍去)，
∴$\frac{CF}{BF}$ = $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.(8分)
(ii)当k = 2时，则∠CBE = 2∠ADE.
如图，延长FC至点P，使CP = CF，设CE = BF = m，CP = CF = n.

tan∠CFE = $\frac{CE}{CF}$ = $\frac{m}{n}$，PE² = m² + n²，
∴EP = EF，
∴∠CEP = ∠CEF，
∴∠PEF = ∠CEP + ∠CEF = 2∠CEF，
∴∠ECF + ∠EDF = 180°，
∴四边形DECF内接于直径为EF的圆，
∴∠CEF = ∠CDE = ∠ADE，
∴∠PEF = 2∠CEF = 2∠ADE = ∠CBE.
又
∵∠EPF = ∠BPE，
∴△EPF∽△BPE，
∴PE² = PF·PB，
∴m² + n² = 2n(m + 2n)，
整理，得$(\frac{m}{n})^{2}$ - 2$(\frac{m}{n})$ - 3 = 0，
解得$\frac{m}{n}$ = 3或$\frac{m}{n}$ = - 1(负值不符合题意，舍去)，
∴tan∠CFE = 3.(12分)