《2026年秒杀中考数学安徽专版》

15. 核心素养·运算能力 先化简，再求值：$\frac{x + 1}{x^{2} - 2x + 1} ÷ \left(1 + \frac{2}{x - 1}\right)$，其中$x = -2$。

答案： 15.解：原式 = $\frac{x + 1}{(x - 1)^{2}}$·$\frac{x - 1}{x + 1}$
= $\frac{1}{x - 1}$.(4分)
当x = - 2时，原式 = $\frac{1}{-2 - 1}$ = - $\frac{1}{3}$.(8分)

16. 如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$各顶点坐标为$A(-3, -1)$，$B(-2, -3)$，$C(-1, -2)$。
(1) 作出$\triangle ABC$关于$y$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
(2) 以点$O$为位似中心，在第一象限作出$\triangle ABC$的位似$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$，使$\triangle ABC$与$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$的相似比为$1:2$。
(3) 利用无刻度直尺在平面直角坐标系内找一个整点（横纵坐标均为整数的点）$P$，使得$PA_{1} = PC_{2}$，并写出点$P$的坐标。

答案：
16.解：
(1)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求.(2分)
(2)如图所示，△A₂B₂C₂即为所求.(5分)
(3)如图所示，点P坐标为(0, 1)(答案不唯一).(8分)

17. 核心素养·推理能力 观察以下等式：
第1个等式：$\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$，第2个等式：$\frac{1}{3} = \frac{1}{5} + \frac{2}{15}$，
第3个等式：$\frac{1}{4} = \frac{1}{7} + \frac{3}{28}$，第4个等式：$\frac{1}{5} = \frac{1}{9} + \frac{4}{45}$，
……
按照以上规律，回答下列问题：
(1) 写出第5个等式：$\frac{1}{6} = \frac{1}{11} + \frac{5}{66}$。
(2) 写出你猜想的第$n$个等式：$\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{2n + 1} + \frac{n}{(n + 1)(2n + 1)}$(用含$n$的等式表示)，并证明。

答案： 17.解：
(1)$\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{11}$ + $\frac{5}{66}$.(3分)
(2)第n个等式：$\frac{1}{n + 1}$ = $\frac{1}{2n + 1}$ + $\frac{n}{(n + 1)(2n + 1)}$.(6分)
证明：$\frac{1}{2n + 1}$ + $\frac{n}{(n + 1)(2n + 1)}$
= $\frac{n + 1}{(2n + 1)(n + 1)}$ + $\frac{n}{(n + 1)(2n + 1)}$
= $\frac{2n + 1}{(2n + 1)(n + 1)}$ = $\frac{1}{n + 1}$.
故等式成立.(8分)

18. 某水果店用3450元购进甲、乙两种水果共200 kg，每种水果的成本价与利润率如表所示：

全部售完后，求该水果店获得的总利润。[注：利润 = 售价 - 成本，利润率 = （售价 - 成本）÷ 成本×100%]

答案： 18.解：设购买甲、乙两种水果分别为xkg，ykg.
由题意，得$\begin{cases}x + y = 200 \\ 20x + 15y = 3450\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 90 \\ y = 110\end{cases}$，
∴购买甲、乙两种水果分别为90kg，110kg.(4分)
20×90×25% + 15×110×20% = 780(元).
答：全部售完后，该水果店获得的总利润为780元.(8分)