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1.待定系数法的四个步骤是
设函数表达式
、列方程组
、解方程组
和写出函数表达式
.
答案：
1设函数表达式 列方程组 解方程组 写出函数表达式
2.二次函数的三种表达式：(1)一般式
(3)交点式
$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$
；(2)顶点式$y = a(x + h)^{2} + k(a \neq 0)$
；(3)交点式
$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})(a \neq 0)$
.
答案：
2
(1)$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$
(2)$y = a(x + h)^{2} + k(a \neq 0)$
(3)$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})(a \neq 0)$
(1)$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$
(2)$y = a(x + h)^{2} + k(a \neq 0)$
(3)$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})(a \neq 0)$
1.二次函数$y=ax^{2}+c(a\neq0)$的图像经过点$A(2,1),B(-1,-2)$，求这个二次函数的表达式.
答案：
1解：把$A(2,1),B( - 1, - 2)$分别代入$y = ax^{2} + c$，
得$\begin{cases}4a + c = 1, \\a + c = - 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1, \\c = - 3, \end{cases}$
$\therefore$这个二次函数的表达式为$y = x^{2} - 3$。
得$\begin{cases}4a + c = 1, \\a + c = - 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1, \\c = - 3, \end{cases}$
$\therefore$这个二次函数的表达式为$y = x^{2} - 3$。
2.抛物线的顶点坐标是$(6,-4)$，且经过点$(4,-2)$，求该抛物线的函数表达式.
答案：
2解：$\because$抛物线的顶点坐标为$(6, - 4)$，
$\therefore$设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 6)^{2} - 4$。
把$(4, - 2)$代入，得$a(4 - 6)^{2} - 4 = - 2,\therefore a = \frac{1}{2}$，
$\therefore$该抛物线的函数表达式为$y = \frac{1}{2}(x - 6)^{2} - 4$，
即$y = \frac{1}{2}x^{2} - 6x + 14$。
$\therefore$设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 6)^{2} - 4$。
把$(4, - 2)$代入，得$a(4 - 6)^{2} - 4 = - 2,\therefore a = \frac{1}{2}$，
$\therefore$该抛物线的函数表达式为$y = \frac{1}{2}(x - 6)^{2} - 4$，
即$y = \frac{1}{2}x^{2} - 6x + 14$。
3.若二次函数的图像经过$A(-1,0),B(3,0),C(0,5)$三点，求该二次函数的表达式.
答案：
3解：$\because$二次函数的图像经过$A( - 1,0),B(3,0)$两点，
$\therefore$设二次函数的表达式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，
把$C(0,5)$代入，得$- 3a = 5$，解得$a = - \frac{5}{3}$。
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = - \frac{5}{3}(x + 1)(x - 3)$，
即$y = - \frac{5}{3}x^{2} + \frac{10}{3}x + 5$。
$\therefore$设二次函数的表达式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，
把$C(0,5)$代入，得$- 3a = 5$，解得$a = - \frac{5}{3}$。
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = - \frac{5}{3}(x + 1)(x - 3)$，
即$y = - \frac{5}{3}x^{2} + \frac{10}{3}x + 5$。
4.已知抛物线$y=ax^{2}+bx-1$经过点$(-1,2)$，其对称轴为直线$x=-1$，求该抛物线的函数表达式.
答案：
4解：由题意，得$\begin{cases}a - b - 1 = 2, \\ - \frac{b}{2a} = - 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = - 3, \\b = - 6, \end{cases}$
$\therefore$该抛物线的函数表达式为$y = - 3x^{2} - 6x - 1$。
$\therefore$该抛物线的函数表达式为$y = - 3x^{2} - 6x - 1$。
5.已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$中，函数$y$与自变量$x$的部分对应值如下表：
求该二次函数的表达式.
求该二次函数的表达式.
答案：
5解：将$(0, - 3)$代入$y = ax^{2} + bx + c$，得$c = - 3$，
$\therefore y = ax^{2} + bx - 3$。
将$(2,5),( - 1, - 4)$代入$y = ax^{2} + bx - 3$，得
$\begin{cases}4a + 2b - 3 = 5, \\a - b - 3 = - 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1, \\b = 2, \end{cases}$
$\therefore y = x^{2} + 2x - 3$。
$\therefore y = ax^{2} + bx - 3$。
将$(2,5),( - 1, - 4)$代入$y = ax^{2} + bx - 3$，得
$\begin{cases}4a + 2b - 3 = 5, \\a - b - 3 = - 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1, \\b = 2, \end{cases}$
$\therefore y = x^{2} + 2x - 3$。
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