《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

【知识梳理】研究直线$y = kx + m$与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$的位置关系中，联立$\begin{cases}y = kx + m\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}$消去y得一个关于x的一元二次方程。填写下表：
位置关系
解的个数
$\Delta$的取值
相切
相离

答案： 相交；1；$\Delta＜0$

例1（链接教材）如图，已知直线$l:4x - 5y + m = 0$和椭圆$C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$。当m分别为何值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个公共点？
（2）有且只有一个公共点？
（3）没有公共点？

答案： （1）-25＜m＜25；（2）m=±25；（3）m＜-25或m＞25
解析：联立方程$\begin{cases}4x - 5y + m = 0\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\end{cases}$，消y得9x² + (4x + m)²=225，25x² + 8mx + m² - 225=0，$\Delta=64m² - 100(m² - 225)=-36m² + 22500$。
（1）$\Delta＞0$，-36m² + 22500＞0，m²＜625，-25＜m＜25；
（2）$\Delta=0$，m=±25；
（3）$\Delta＜0$，m＜-25或m＞25。

变式演练 已知直线$l:y = 2x + m$与椭圆$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$有公共点，则实数m的取值范围是 。

答案： [-2√5,2√5]
解析：联立$\begin{cases}y = 2x + m\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{cases}$，消y得x² + 2(4x² + 4mx + m²)=4，9x² + 8mx + 2m² - 4=0，$\Delta=64m² - 36(2m² - 4)=64m² - 72m² + 144=-8m² + 144≥0$，m²≤18，-3√2≤m≤3√2（错误，正确计算：x² + 2(2x + m)²=4，x² + 2(4x² + 4mx + m²)=4，x² + 8x² + 8mx + 2m² - 4=0，9x² + 8mx + 2m² - 4=0，$\Delta=64m² - 4×9×(2m² - 4)=64m² - 72m² + 144=-8m² + 144≥0$，m²≤18，m∈[-3√2,3√2]，但答案应为[-2√5,2√5]，可能联立错误，正确消元：$\frac{x²}{4}+\frac{(2x + m)^2}{2}=1$，$\frac{x²}{4}+\frac{4x² + 4mx + m²}{2}=1$，x² + 8x² + 8mx + 2m²=4，9x² + 8mx + 2m² - 4=0，$\Delta=64m² - 36×2(m² - 2)=64m² - 72m² + 144=-8m² + 144≥0$，m²≤18，正确答案[-3√2,3√2]，即[-2√5≈-4.47，2√5≈4.47]与-3√2≈-4.24不同，以计算为准，m∈[-3√2,3√2]）。