《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

例1（链接教材）求曲线$y=\frac {1}{3}x³+\frac {4}{3}$在点P(2,4)处的斜率.

答案： 4
解析：$\Delta y=\frac {1}{3}(2+\Delta x)³+\frac {4}{3}-4=\frac {1}{3}(8 + 12\Delta x + 6(\Delta x)² + (\Delta x)³)+\frac {4}{3}-4=4\Delta x + 2(\Delta x)²+\frac {1}{3}(\Delta x)³$，$\frac {\Delta y}{\Delta x}=4 + 2\Delta x+\frac {1}{3}(\Delta x)²$，$\lim\limits_{\Delta x→0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=4$，斜率为4

当点P无限趋近于P₀时，割线PP₀无限趋近于______，这个确定位置的直线P₀T称为抛物线一个确定的位置f(x)在点P₀处的______，我们可以用割线PP₀的斜率k近似地表示切线P₀T的斜率k₀.

答案： 一个确定的位置；切线
解析：根据切线定义，当点P无限趋近于P₀时，割线PP₀无限趋近于一个确定的位置，该直线为切线

变式演练 （1）若曲线y=x²+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0，则（ ）
A. a=1,b=1
B. a=-1,b=1
C. a=1,b=-1
D. a=-1,b=-1

答案： A
解析：切线方程x - y + 1 = 0斜率为1，y'=2x + a，在x=0处y'=a=1，又点(0,b)在切线上，0 - b + 1 = 0，b=1，选A

（2）已知曲线y=2x²+4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为______.

答案： (3,30)
解析：y'=4x + 4，令4x + 4=16，解得x=3，y=2×9 + 4×3=18 + 12=30，坐标为(3,30)