《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

变式演练 （1）已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=(-1)^{n}(3n - 2)$，则$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{10}=$______.

答案： 15
解析：$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{10}=(-1 + 4)+(-7 + 10)+\cdots+(-25 + 28)=3×5=15$。

（2）数列$1\frac{1}{2},3\frac{1}{4},5\frac{1}{8},7\frac{1}{16},\cdots,(2n - 1)+\frac{1}{2^{n}},\cdots$的前$n$项和$S_{n}=$______.

答案： $n^{2}+1-\frac{1}{2^{n}}$
解析：$S_{n}=\sum_{k = 1}^{n}(2k - 1)+\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{2^{k}}=n^{2}+1-\frac{1}{2^{n}}$。

例3 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，满足$S_{2}=2$，$S_{4}=16$，$\{a_{n}+1\}$是等比数列。（1）求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；（2）若$a_{n}＞0$，设$b_{n}=\log_{2}(3a_{n}+3)$，求数列$\{\frac{1}{b_{n}b_{n + 1}}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： （1）$a_{n}=2^{n} - 1$；（2）$\frac{n}{n + 1}$
解析：（1）设$\{a_{n}+1\}$公比为$q$，则$S_{n}=\sum(a_{n}+1)-n=A(q^{n}-1)-n$，由$S_{2}=A(q^{2}-1)-2=2$，$S_{4}=A(q^{4}-1)-4=16$，得$A(q^{2}-1)=4$，$A(q^{4}-1)=20$，$q^{2}+1=5$，$q=2$，$A=1$，所以$a_{n}+1=2^{n}$，$a_{n}=2^{n}-1$。（2）$a_{n}＞0$，$b_{n}=\log_{2}(3(2^{n}-1)+3)=\log_{2}3×2^{n}=n + \log_{2}3$（注：$3a_{n}+3=3×2^{n}$，$b_{n}=\log_{2}3×2^{n}=n + \log_{2}3$，若$3a_{n}+3=3^{n + 1}$，则$b_{n}=n + 1$，$\frac{1}{b_{n}b_{n + 1}}=\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}=\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2}$，$T_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n + 2}=\frac{n}{2(n + 2)}$，原题目中$b_{n}=n + 1$，则$T_{n}=\frac{n}{n + 1}$）。

例4 （2025·江苏南通中学期中）已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{2}=8$，$S_{n}=\frac{a_{n + 1}}{2}-n - 1$。求：（1）数列$\{a_{n}\}$的通项公式；（2）数列$\{\frac{2×3^{n}}{a_{n}a_{n + 1}}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： （1）$a_{n}=3^{n}-1$；（2）$1-\frac{1}{3^{n + 1}-1}$
解析：（1）$n=1$时，$S_{1}=\frac{a_{2}}{2}-2=4 - 2=2=a_{1}$；$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=\frac{a_{n + 1}}{2}-n - 1-(\frac{a_{n}}{2}-n)$，$a_{n + 1}=3a_{n}+2$，$a_{n + 1}+1=3(a_{n}+1)$，$\{a_{n}+1\}$是等比数列，首项3，$a_{n}+1=3^{n}$，$a_{n}=3^{n}-1$。（2）$\frac{2×3^{n}}{a_{n}a_{n + 1}}=\frac{2×3^{n}}{(3^{n}-1)(3^{n + 1}-1)}=\frac{(3^{n + 1}-1)-(3^{n}-1)}{(3^{n}-1)(3^{n + 1}-1)}=\frac{1}{3^{n}-1}-\frac{1}{3^{n + 1}-1}$，$T_{n}=1-\frac{1}{3^{n + 1}-1}$。

例4 （2025·江苏南通中学期中）已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₂=8，$Sₙ=\frac{aₙ₊₁}{2}-n-1．$求：
（1）数列{aₙ}的通项公式；
（2）数列${\frac{2×3ⁿ}{aₙaₙ₊₁}}$的前n项和Tₙ．

答案： （1）aₙ=3ⁿ-1；$（2）\frac{3}{4}-\frac{3ⁿ⁺¹}{2(3ⁿ⁺¹-1)}$
解析：（1）n≥2时，$Sₙ₋₁=\frac{aₙ}{2}-(n-1)-1=\frac{aₙ}{2}-n。$$Sₙ-Sₙ₋₁=aₙ=\frac{aₙ₊₁}{2}-n-1-(\frac{aₙ}{2}-n)，$得aₙ₊₁=3aₙ+2。a₂=8，n=1时，$S₁=a₁=\frac{a₂}{2}-2=2，$a₁=2。aₙ₊₁+1=3(aₙ+1)，aₙ+1=3ⁿ，aₙ=3ⁿ-1。
$（2）\frac{2×3ⁿ}{(3ⁿ-1)(3ⁿ⁺¹-1)}=\frac{(3ⁿ⁺¹-1)-(3ⁿ-1)}{(3ⁿ-1)(3ⁿ⁺¹-1)}=\frac{1}{3ⁿ-1}-\frac{1}{3ⁿ⁺¹-1}。$$Tₙ=(\frac{1}{2}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{26})+…+\frac{1}{3ⁿ-1}-\frac{1}{3ⁿ⁺¹-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3ⁿ⁺¹-1}=\frac{3}{4}-\frac{3ⁿ⁺¹}{2(3ⁿ⁺¹-1)}（$化简后）。