《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

例4（链接教材）已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问：宽度为3m、高度为3.5m的车辆能否驶入这个隧道？

答案： 以圆心为原点，建立坐标系，半圆方程$x² + y²=16(y≥0)$.
车辆边缘坐标(3,3.5)，$3² + 3.5²=21.25 ＞ 16$，不能驶入.

变式演练 本例中，假设货车的最大宽度为a m，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？

答案： $\sqrt{16 - a²}$ m
解析：由$x=a$代入$x² + y²=16$，得$y=\sqrt{16 - a²}$.

1. 若点(1,1)在圆$(x - a)² + (y + a)² = 4$的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A. $\{a|-1 ＜ a ＜ 1\}$
B. $\{a|0 ＜ a ＜ 1\}$
C. $\{a|a ＞ 1$或$a ＜ -1\}$
D. $\{a|a=-4$或$a=4\}$

答案： A
解析：$(1 - a)² + (1 + a)² ＜ 4$，化简$2a² + 2 ＜ 4$，$a² ＜ 1$，$-1 ＜ a ＜ 1$. 故选A.

2. 若坐标原点在圆$(x - m)² + (y + m)² = 4$的内部，则实数m的取值范围是（ ）
A. (-1,1)
B. $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
C. $(-∞,-1)∪(1,+∞)$
D. $(-∞,-\sqrt{2})∪(\sqrt{2},+∞)$

答案： B
解析：$m² + m² ＜ 4$，$m² ＜ 2$，$-\sqrt{2} ＜ m ＜ \sqrt{2}$. 故选B.

3. 已知直线l过圆$x² + (y - 3)² = 4$的圆心，且与直线x + y + 1=0垂直，则l的方程是（ ）
A. x + y - 2=0
B. x - y + 2=0
C. x + y - 3=0
D. x - y + 3=0

答案： D
解析：圆心(0,3)，斜率为1（与-1垂直）. 方程$y - 3=x$，即$x - y + 3 = 0$. 故选D.

4.（多选题）已知圆C的半径为$\sqrt{17}$，圆心在直线x - y - 2=0上，且过点(-2,1)，则圆C的标准方程可以为（ ）
A. $(x - 2)² + y² = 17$
B. $(x - 1)² + (y + 1)² = 17$
C. $(x + 2)² + y² = 17$
D. $(x + 1)² + (y + 3)² = 17$

答案： AB
解析：设圆心$(a,a - 2)$，则$(a + 2)² + (a - 3)²=17$.
解得$a=2$或$a=1$，圆心(2,0)或(1,-1). 故选AB.

5. 圆$(x - 2)² + y² = 4$关于直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$对称的圆的方程是______.

答案： $(x - 1)² + (y - \sqrt{3})² = 4$
解析：圆心(2,0)关于直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$的对称点为(1,$\sqrt{3}$)，半径不变. 方程为$(x - 1)² + (y - \sqrt{3})² = 4$.