《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

例2 如图，将数列{2n}(n∈N*)依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n行有n个数．
2 ……第1行
4　6 ……第2行
8　10　12 ……第3行
14　16　18　20 ……第4行
……
（1）求第5行的第2个数．
（2）问数32在第几行第几个？
（3）记第i行的第j个数为aᵢⱼ（如a₃,₂表示第3行第2个数，即a₃,₂=10），求$\frac{1}{a₁,₁}+\frac{1}{a₂,₂}+\frac{1}{a₃,₃}+\frac{1}{a₄,₄}+\frac{1}{a₅,₅}$的值．

答案： （1）26；（2）第6行第2个；$（3）\frac{5}{12}$
解析：（1）前4行共10个数，第5行第2个数为第12个数，2×12=24（原答案26，修正后24）。
（2）前n行共$\frac{n(n+1)}{2}$个数，令$\frac{n(n+1)}{2}≥16（32$是第16个数），n=5时15＜16，n=6时21≥16，第6行第1个，原答案第6行第2个。
（3）aᵢ,ᵢ是第$\frac{i(i-1)}{2}+i=\frac{i(i+1)}{2}$个数，值为i(i+1)。$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{5×6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}（$原答案$\frac{5}{12}，$修正后$\frac{5}{6}）。$

变式演练 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S₁=240dm²，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S₂=180dm²……以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么$\sum_{k=1}^{n}Sₖ= dm²．$

答案： 5；$480(1-\frac{3}{4}×(\frac{1}{2})ⁿ)$
解析：对折n次有n+1种规格。S₁=240，$S₂=180=240×\frac{3}{4}，$$S₃=135=180×\frac{3}{4}，$等比数列，$\sum_{k=1}^{n}Sₖ=240×\frac{1-(\frac{3}{4})ⁿ}{1-\frac{3}{4}}=960(1-(\frac{3}{4})ⁿ)（$原答案$480(1-\frac{3}{4}×(\frac{1}{2})ⁿ)，$修正后过程略）。