《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

1. 点到直线的距离公式：点P（x₀，y₀）到直线l：Ax + By + C = 0（A，B不全为0）的距离d = ．

答案： $\frac{|Ax₀ + By₀ + C|}{\sqrt{A² + B²}}$
解析：点到直线的距离公式为$d = \frac{|Ax₀ + By₀ + C|}{\sqrt{A² + B²}}$，
故答案为$\frac{|Ax₀ + By₀ + C|}{\sqrt{A² + B²}}$。

2. 点到几种特殊直线的距离：
（1）点P（x₀，y₀）到x轴的距离d = ；
（2）点P（x₀，y₀）到y轴的距离d = ；
（3）点P（x₀，y₀）到直线y = a的距离d = ；
（4）点P（x₀，y₀）到直线x = b的距离d = ．

答案： （1）|y₀|；（2）|x₀|；（3）|y₀ - a|；（4）|x₀ - b|
解析：（1）x轴的方程为y = 0，点P（x₀，y₀）到x轴的距离d = |y₀|；
（2）y轴的方程为x = 0，点P（x₀，y₀）到y轴的距离d = |x₀|；
（3）直线y = a的方程为y - a = 0，距离d = |y₀ - a|；
（4）直线x = b的方程为x - b = 0，距离d = |x₀ - b|，
故答案为（1）|y₀|；（2）|x₀|；（3）|y₀ - a|；（4）|x₀ - b|。

例1（链接教材）求坐标原点到下列直线的距离：
（1）2x + 3y - 13 = 0；
（4）x = 2y。

答案： （1）$\frac{13\sqrt{13}}{13}$ = √13；（4）0
解析：（1）原点（0，0）到直线2x + 3y - 13 = 0的距离d = $\frac{|2×0 + 3×0 - 13|}{\sqrt{2² + 3²}}$=$\frac{13}{\sqrt{13}}$=$\sqrt{13}$；
（4）直线x = 2y可化为x - 2y = 0，原点（0，0）到该直线的距离d = $\frac{|0 - 2×0|}{\sqrt{1² + (-2)²}}$=0，
故答案为（1）√13；（4）0。

变式演练 根据下面条件，求点P到直线l的距离：
（1）P（2，-6），l：3x - y - 1 = 0；
（2）P（-1，-4），l：y = -x + $\frac{1}{4}$。

答案： （1）$\frac{11\sqrt{10}}{10}$；（2）$\frac{21\sqrt{2}}{8}$
解析：（1）点P（2，-6）到直线3x - y - 1 = 0的距离d = $\frac{|3×2 - (-6) - 1|}{\sqrt{3² + (-1)²}}$=$\frac{|6 + 6 - 1|}{\sqrt{10}}$=$\frac{11}{\sqrt{10}}$=$\frac{11\sqrt{10}}{10}$；
（2）直线l：y = -x + $\frac{1}{4}$可化为x + y - $\frac{1}{4}$ = 0，点P（-1，-4）到该直线的距离d = $\frac{|-1 + (-4) - \frac{1}{4}|}{\sqrt{1² + 1²}}$=$\frac{|-\frac{21}{4}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{21}{4\sqrt{2}}$=$\frac{21\sqrt{2}}{8}$，
故答案为（1）$\frac{11\sqrt{10}}{10}$；（2）$\frac{21\sqrt{2}}{8}$。