《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

【知识梳理】
1. 等差数列的通项公式
（1）通项公式：__________.
（2）变形：__________.

答案： （1）$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$
（2）$a_{n}=a_{m}+(n - m)d$（$m,n\in\mathbf{N}^{*}$）

【知识梳理】
2. 等差数列的判定
（1）定义法：__________.
（2）通项公式法：$\{ a_{n}\}$是等差数列$\Leftrightarrow a_{n}=pn + q$（当$\{ a_{n}\}$为常数列时，$p = 0$）.
（3）中项公式法：$\{ a_{n}\}$是等差数列$\Leftrightarrow a_{n+1}+a_{n-1}=2a_{n}$（$n\in\mathbf{N}^{*}$，且$n\geq2$）或$a_{n}+a_{n+2}=2a_{n+1}$.

答案： （1）$a_{n+1}-a_{n}=d$（常数）（$n\in\mathbf{N}^{*}$）

例1（链接教材）设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$.
（1）已知$a_{5}=-1,a_{8}=2$，求$a_{1}$与$d$；
（2）已知$a_{1}+a_{6}=12,a_{4}=7$，求$a_{n}$.

答案： （1）由等差数列通项公式得$\begin{cases}a_{1}+4d=-1\\a_{1}+7d=2\end{cases}$，两式相减得$3d=3$，$d = 1$，代入$a_{1}+4×1=-1$，$a_{1}=-5$。
（2）$a_{1}+a_{6}=a_{1}+a_{1}+5d=2a_{1}+5d=12$，$a_{4}=a_{1}+3d=7$，联立$\begin{cases}2a_{1}+5d=12\\a_{1}+3d=7\end{cases}$，解得$a_{1}=1$，$d = 2$，$a_{n}=1 + 2(n - 1)=2n - 1$。

变式演练 在等差数列$\{ a_{n}\}$中：
（1）已知公差$d=-\frac{1}{3},a_{7}=8$，则$a_{1}=$______.
（2）已知$a_{3}=0,a_{7}-2a_{4}=-1$，则公差$d=$______.
（3）已知$\{ a_{n}\}$的前两项依次为2，6，则$a_{15}=$______.

答案： （1）10
解析：$a_{7}=a_{1}+6d=8$，$a_{1}=8 - 6×(-\frac{1}{3})=8 + 2=10$。
（2）$\frac{1}{2}$
解析：$a_{3}=a_{1}+2d=0$，$a_{7}-2a_{4}=a_{1}+6d - 2(a_{1}+3d)=-a_{1}=-1$，$a_{1}=1$，代入$1 + 2d=0$，$d=-\frac{1}{2}$。
（3）58
解析：公差$d=6 - 2=4$，$a_{15}=2 + 14×4=2 + 56=58$。