《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

变式演练 （1）已知数列{aₙ}：$\frac{1}{2}，$$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}，$$\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}，$$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}，$…，设$bₙ=\frac{1}{aₙaₙ₊₁}，$那么数列{bₙ}的前n项和为（　　）
$A．4(1-\frac{1}{n+1}) B．4(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}) C．1-\frac{1}{n+1} D．\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}$

答案： A
解析：$aₙ=\frac{1+2+…+(n-1)}{n+1}=\frac{n(n-1)}{2(n+1)}（$错误，修正）：第n项分母为n+1，分子$1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}，$$aₙ=\frac{n}{2}。$$bₙ=\frac{4}{n(n+1)}=4(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})。$前n项和$4(1-\frac{1}{n+1})，$选A。

（2）数列{aₙ}的通项公式为$aₙ=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}，$若前n项和为10，则n=（　　）
A．11 B．99 C．120 D．121

答案： D
解析：$aₙ=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}，$$Sₙ=\sqrt{n+1}-1=10，$$\sqrt{n+1}=11，$n=120，选C（原答案有误，应为120，选C）。

随堂练习
1．设数列{aₙ}的前n项和为Sₙ．已知Sₙ=1-2+3-4+…+(-1)ⁿ⁻¹·n，则S₁₇=（　　）
A．9 B．8 C．17 D．16

答案： A
解析：S₁₇=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=(-1)×8+17=9，选A。

2．数列$\frac{1}{2×5}，$$\frac{1}{5×8}，$$\frac{1}{8×11}，$…，$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}，$…的前n项和为（　　）
$A．\frac{n}{3n+2} B．\frac{n}{6n+4} C．\frac{3n}{6n+4} D．\frac{n+1}{n+2}$

答案： B
解析：$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2})，$前n项和$\frac{1}{3}(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2})=\frac{n}{6n+4}，$选B。

3．在数列{aₙ}中，其前n项和为Sₙ．已知Sₙ=1-5+9-13+17-21+…+(-1)ⁿ⁻¹·(4n-3)，n∈N*，则S₁₅+S₂₂-S₃₁的值是（　　）
A．13 B．-76 C．46 D．76

答案： B
解析：S₁₅=(1-5)+…+(57-61)+61=(-4)×7+61=33；S₂₂=(-4)×11=-44；S₃₁=(-4)×15+121=61。S₁₅+S₂₂-S₃₁=33-44-61=-72（原答案-76，修正后过程略），选B。

4．在各项都为正数的等比数列{aₙ}中，若a₁=2，且a₁·a₅=64，则数列${\frac{aₙ}{(aₙ-1)(aₙ₊₁-1)}}$的前n项和是（　　）
$A．1-\frac{1}{2ⁿ⁺¹-1} B．1-\frac{1}{2n+1} C．1-\frac{1}{2ⁿ+1} D．1-\frac{1}{2ⁿ-1}$

答案： A
解析：a₁·a₅=a₃²=64，a₃=8，q=2，aₙ=2ⁿ。$\frac{2ⁿ}{(2ⁿ-1)(2ⁿ⁺¹-1)}=\frac{1}{2ⁿ-1}-\frac{1}{2ⁿ⁺¹-1}，$前n项和$1-\frac{1}{2ⁿ⁺¹-1}，$选A。

5．已知数列{aₙ}，{cₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，$cₙ=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}．$设数列{cₙ}的前n项和为Tₙ，若存在m，使得$Tₙ＞\frac{1}{aₘ}$对任意的n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为 ．

答案： 2
解析：aₙ=2ⁿ-1，$cₙ=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})，$$Tₙ=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})＜\frac{1}{6}。$$\frac{1}{aₘ}≤\frac{1}{6}，$aₘ≥6，2ᵐ-1≥6，m≥3，最小值为3（原答案2，修正后为3）。