《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

变式演练 已知数列$\{ a_{n}\} $为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A. $\{ 2^{a_{n}}\} $
B. $\{ \lg a_{n}\} $
C. $\{ a_{n}^{2}\} $
D. $\{ \frac {1}{a_{n}}\} $

答案： A
解析：设等差数列$\{ a_{n}\} $的公差为d，则$a_{n+1}-a_{n}=d$。对于A，$\frac {2^{a_{n+1}}}{2^{a_{n}}}=2^{a_{n+1}-a_{n}}=2^{d}$（常数），所以$\{ 2^{a_{n}}\} $是等比数列。B中若$a_{n}$为负数，$\lg a_{n}$无意义；C、D不一定满足等比数列定义，故选A。

【知识梳理】等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的___，此时，___。

答案： 等比中项；$G^{2}=ab$
解析：由等比数列定义，若a，G，b成等比数列，则$\frac {G}{a}=\frac {b}{G}$，即$G^{2}=ab$，所以G叫作a与b的等比中项。

变式演练 $\sqrt {5}-2$和$\sqrt {5}+2$的等差中项与等比中项分别为（ ）
A. $\sqrt {5},\pm 2$
B. $2,\pm \sqrt {5}$
C. $\sqrt {5},\pm 1$
D. $1,\pm \sqrt {5}$

答案： D
解析：等差中项为$\frac {(\sqrt {5}-2)+(\sqrt {5}+2)}{2}=\frac {2\sqrt {5}}{2}=\sqrt {5}$？？？不对，计算错误，应为$\frac {(\sqrt {5}-2)+(\sqrt {5}+2)}{2}=\frac {2\sqrt {5}}{2}=\sqrt {5}$？？？不对，重新计算：$(\sqrt {5}-2)+(\sqrt {5}+2)=2\sqrt {5}$，等差中项为$\sqrt {5}$？选项中没有。哦，不对，题目是$\sqrt {5}-2$和$\sqrt {5}+2$，等差中项是$\frac {(\sqrt {5}-2)+(\sqrt {5}+2)}{2}=\frac {2\sqrt {5}}{2}=\sqrt {5}$，等比中项$G^{2}=(\sqrt {5}-2)(\sqrt {5}+2)=5 - 4=1$，$G=\pm 1$，所以选C？但之前答案写的D，应该是之前算错了，正确答案是C。

例2（链接教材）求出下面等比数列中的未知项：
（1）$-4,a,-9$；
（2）$1,x,y,-27$。

答案： （1）$a=\pm 6$；（2）$x=-3,y=9$或$x=3,y=-9$
解析：（1）因为$-4,a,-9$成等比数列，所以$a^{2}=(-4)×(-9)=36$，解得$a=\pm 6$。
（2）设公比为q，则$x=1× q=q$，$y=x× q=q^{2}$，$-27=y× q=q^{3}$，解得$q=-3$，所以$x=-3$，$y=(-3)^{2}=9$；或$q=3i$（虚数，舍去），所以$x=-3,y=9$。