《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

1. 过$ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $两点的直线方程一定可以写成（ ）
A. $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$
B. $ y - y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) $
C. $ x - x_1=\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}(y - y_1) $
D. $ (y - y_1)(x_2 - x_1)=(x - x_1)(y_2 - y_1) $

答案： D
A、B、C都要求$ x_1≠x_2 $且$ y_1≠y_2 $，D对任意两点都成立.

2. 在$ x $轴、$ y $轴上的截距分别是-3，4的直线方程为（ ）
A. $\frac{x}{-3}+\frac{y}{4}=1$
B. $\frac{x}{3}+\frac{y}{-4}=1$
C. $\frac{x}{-3}-\frac{y}{4}=1$
D. $\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1$

答案： A
截距式方程为$\frac{x}{-3}+\frac{y}{4}=1$.

3. 已知直线$ l $的两点式方程为$\frac{y - 0}{-3 - 0}=\frac{x - 5}{3 - 5}$，则$ l $的斜率为（ ）
A. $-\frac{3}{8}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $-\frac{3}{2}$
D. $\frac{3}{2}$

答案： D
方程可化为$\frac{y}{-3}=\frac{x - 5}{-2}$，即$ y=\frac{3}{2}(x - 5) $，斜率为$\frac{3}{2}$.

4. （多选题）过点$ A(4,1) $且在两坐标轴上截距相等的直线方程可以为（ ）
A. $ x + y=5 $
B. $ x - y=5 $
C. $ x - 4y=0 $
D. $ x + 4y=0 $

答案： AC
当截距都为0时，方程为$ y=\frac{1}{4}x $，即$ x - 4y=0 $.
当截距不为0时，设方程$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，代入$ (4,1) $，$ a=5 $，方程为$ x + y=5 $.

5. 已知直线$ x + y - k=0 $与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，则实数$ k $的取值范围是______.

答案： $(-\infty,-4]\cup[4,+\infty)$
直线与$ x $轴交于$(k,0)$，与$ y $轴交于$(0,k)$，面积$ S=\frac{1}{2}|k||k|=\frac{1}{2}k^{2}\geq8 $，$ k^{2}\geq16 $，$ k\leq - 4 $或$ k\geq4 $.

拓展探究 （1）在例3条件下，求当$ OA + OB $取得最小值时，直线$ l $的方程.

答案： $ x + \sqrt{2}y - 2 - \sqrt{2}=0 $
设$ OA=a $，$ OB=b $，$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，$ OA + OB=a + b=(a + b)(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})=3+\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}\geq3 + 2\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{2b}{a}=\frac{a}{b}$，$ a=2 + \sqrt{2} $，$ b=1 + \sqrt{2} $时等号成立，方程为$\frac{x}{2 + \sqrt{2}}+\frac{y}{1 + \sqrt{2}}=1$，化简得$ x + \sqrt{2}y - 2 - \sqrt{2}=0 $.

（2）在例3条件下，求当$ MA·MB $取得最小值时，直线$ l $的方程.

答案： $ x + y - 3=0 $
设直线斜率为$ k(k ＜ 0) $，方程$ y - 1=k(x - 2) $，$ A(2-\frac{1}{k},0) $，$ B(0,1 - 2k) $.
$ MA=\sqrt{(\frac{1}{k})^{2}+1} $，$ MB=\sqrt{4 + (2k)^{2}} $，$ MA·MB=\sqrt{(\frac{1}{k^{2}} + 1)(4 + 4k^{2})}=2\sqrt{(k^{2}+\frac{1}{k^{2}})+2}\geq4 $，当$ k^{2}=1 $，$ k=-1 $时等号成立，方程为$ y - 1=-(x - 2) $，即$ x + y - 3=0 $.