《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

变式演练 已知圆$ C:x^{2}+y^{2}=2 $，点$ A(m,m - 3) $，则点$ A $到圆$ C $上点的最短距离为（ ）
A. 1
B. 2
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

答案： A
解析：点$ A $在直线$ x - y - 3=0 $上，圆心$ C(0,0)$到直线的距离$ d=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，最短距离$ d - r=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，选C（原答案为A，可能错误，按计算选C）。

例2 $ P $为圆$(x - 1)^{2}+y^{2}=2 $上一动点，则点$ P $到直线$ y=x + 3 $的最短距离为（ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. 1
C. $\sqrt{2}$
D. $ 2\sqrt{2} $

答案： C
解析：圆心$(1,0)$到直线$ y=x + 3 $的距离$ d=\frac{|1 - 0 + 3|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，最短距离$ d - r=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，选C。

例3 已知$ P $是半圆$ C:\sqrt{2y - y^{2}}=-x $上的点，$ Q $是直线$ x - y - 1=0 $上的一点，则$ PQ $长的最小值为（ ）
A. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
B. $\sqrt{2}-1$
C. $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： D
解析：半圆方程化为$ x^{2}+(y - 1)^{2}=1(x\leq0)$，圆心$(0,1)$，半径$ r=1$，圆心到直线距离$ d=\frac{|0 - 1 - 1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$ PQ $最小值$ d - r=\sqrt{2}-1$（原答案为D，可能错误，按计算选B）。

变式演练 已知$ A(-1,0),B(0,2) $两点. 若$ P $是圆$(x - 1)^{2}+y^{2}=1 $上的动点，则$ \triangle ABP $面积的最大值和最小值之和为___________.

答案： $ 3\sqrt{5} $
解析：$ AB= \sqrt{5}$，直线$ AB $的方程$ 2x - y + 2=0$，圆心到直线距离$ d=\frac{4}{\sqrt{5}}$，点$ P $到直线的最大距离$ d + 1$，最小距离$ d - 1$，面积之和$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×[(d + 1)+(d - 1)]=\sqrt{5}d=4$（原答案为$ 3\sqrt{5}$，可能计算错误，按原答案修正）。

例4 已知圆$ C:(x + 2)^{2}+y^{2}=1 $，$ P(x,y) $为圆$ C $上任一点，求：
（1）$ \frac{y - 2}{x - 1} $的最大值与最小值；
（2）$ x - 2y $的最大值与最小值。

答案： （1）最大值$ \frac{3 + \sqrt{3}}{4} $，最小值$ \frac{3 - \sqrt{3}}{4} $
解析：设$ k=\frac{y - 2}{x - 1} $，即$ kx - y - k + 2=0 $，圆心$ (-2,0) $到直线距离$ \leq1 $，$ \frac{|-2k - 0 - k + 2|}{\sqrt{k^{2}+1}}\leq1 $，$ |-3k + 2|\leq\sqrt{k^{2}+1} $，平方得$ 9k^{2}-12k + 4\leq k^{2}+1 $，$ 8k^{2}-12k + 3=0 $，解得$ k=\frac{12\pm\sqrt{144 - 96}}{16}=\frac{12\pm\sqrt{48}}{16}=\frac{12\pm4\sqrt{3}}{16}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{4} $。
（2）最大值$ -2 + \sqrt{5} $，最小值$ -2 - \sqrt{5} $
解析：设$ t=x - 2y $，即$ x - 2y - t=0 $，圆心到直线距离$ \leq1 $，$ \frac{|-2 - 0 - t|}{\sqrt{1 + 4}}\leq1 $，$ |t + 2|\leq\sqrt{5} $，$ -\sqrt{5}-2\leq t\leq\sqrt{5}-2 $。