《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

（1）（多选题）下列命题中，正确的有（ ）
A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角
B. 一条直线的倾斜角可以为-30°
C. 倾斜角为0°的直线有无数条
D. 若直线的倾斜角为α，则sinα∈（0，1）

答案： AC
解析：A选项，任意直线都有唯一倾斜角，正确；B选项，倾斜角范围是[0°，180°），-30°不在此范围，错误；C选项，倾斜角为0°的直线平行于x轴，有无数条，正确；D选项，当α=0°时，sinα=0，当α=90°时，sinα=1，所以sinα∈[0，1]，错误，答案选AC。

（2）已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________.

答案： 60°或120°
解析：当直线l在y轴右侧时，倾斜角为90° - 30°=60°；当在y轴左侧时，倾斜角为90° + 30°=120°。

当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足___________.

答案： $k = \tan\alpha$

当直线的倾斜角为锐角时，倾斜角越大，直线越___________，相应的斜率随倾斜角的增大而___________；当直线的倾斜角为钝角时，倾斜角越大，直线越___________，斜率随倾斜角的增大而___________.不难发现，直线越陡，直线斜率的绝对值___________.

答案： 陡；增大；陡；增大；越大

（1）若直线l的斜率存在，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）求直线l的倾斜角α的取值范围.

答案： （1）$(-\infty,-\frac{1}{3}]\cup [1,+\infty)$；
（2）$[\arctan1,\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2},\pi - \arctan\frac{1}{3}]$
解析：
（1）已知点$A(-3,4)$，$B(3,2)$，$P(1,0)$。
直线PA的斜率$k_{PA}=\frac{4 - 0}{-3 - 1}=-1$，直线PB的斜率$k_{PB}=\frac{2 - 0}{3 - 1}=1$。
因为直线l与线段AB有公共点，所以斜率k的取值范围是$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$。
（2）由（1）知斜率k∈$(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$，当k≥1时，倾斜角α∈$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$；当k≤-1时，倾斜角α∈$(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}]$，所以倾斜角α的取值范围是$[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$。