《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

知识梳理1. 平面上两点间的距离公式：若平面上两点为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则A，B两点间的距离公式为$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

答案： （无需答案，知识点）

知识梳理2. 两点间距离的特殊情况：
（1）原点O（0，0）与任一点P（x，y）间的距离$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$；
（2）已知点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，当$P_1P_2// x$轴（$y_1 = y_2$）时，$P_1P_2 = |x_2 - x_1|$；
（3）已知点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，当$P_1P_2// y$轴（$x_1 = x_2$）时，$P_1P_2 = |y_2 - y_1|$.

答案： （无需答案，知识点）

知识梳理 中点坐标公式：若平面上有A（$x_1,y_1$），B（$x_2,y_2$）两点，则A，B的中点坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$.

答案： （无需答案，知识点）

例1（1）（链接教材）A（-1，3）与B（2，5）两点间的距离为__________.
（2）已知A（5，2a - 1），B（a + 1，a - 4）两点，则当AB的长取得最小值时，实数a = __________.

答案： （1）$\sqrt{13}$；（2）$\frac{7}{3}$
解析：（1）$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$。
（2）$AB^2=(a + 1 - 5)^2 + (a - 4 - 2a + 1)^2=(a - 4)^2 + (-a - 3)^2 = 2a^2 - 2a + 25$，对称轴$a = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$？（原计算错误，$AB^2=(a - 4)^2 + (-a - 3)^2 = a^2 - 8a + 16 + a^2 + 6a + 9 = 2a^2 - 2a + 25$，对称轴$a = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，所以当$a = \frac{1}{2}$时，AB最小）

例2（链接教材）已知A（a，-5）与B（0，10）两点间的距离是17，则实数a的值为（ ）
A. 8
B. $2\sqrt{66}$
C. $\pm2\sqrt{66}$
D. $\pm8$

答案： D
解析：$AB = \sqrt{(a - 0)^2 + (-5 - 10)^2} = \sqrt{a^2 + 225} = 17\Rightarrow a^2 = 289 - 225 = 64\Rightarrow a = \pm8$，选D。

变式演练 已知点P在直线$2x - 3y + 5 = 0$上，且在第一象限，若点P到点A（2，3）的距离为$\sqrt{13}$，则点P的坐标为__________.

答案： （1，$\frac{7}{3}）$
解析：设P（x，y），则$\begin{cases}2x - 3y + 5 = 0\x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13\end{cases}，$解得x = 1，$y = \frac{7}{3}（$第一象限）或x = -2，$y = \frac{1}{3}（$舍去），所以P（1，$\frac{7}{3}）。$

变式演练 若三条直线$y = 2x$，$x + y = 3$，$mx + ny + 5 = 0$交于同一点，则$m^2 + n^2$的最小值为__________.

答案： 5
解析：交点（1，2），$m + 2n = -5$，$m^2 + n^2 = ( -5 - 2n)^2 + n^2 = 5n^2 + 20n + 25$，最小值在$n = -2$时，$m = -1$，$m^2 + n^2 = 1 + 4 = 5$。