《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

例2 用数学归纳法证明：2+4+6+8+…+2ⁿ=2ⁿ⁻¹+2²ⁿ⁻²（n∈N*）的过程中，由n=k递推到n=k+1时，等式左边增加的项数为（　　）
A．1 B．2ᵏ⁻¹ C．2ᵏ D．2ᵏ+1

答案： C
解析：n=k时，左边到2ᵏ；n=k+1时，左边到2ᵏ⁺¹，增加项数2ᵏ⁺¹-2ᵏ=2ᵏ，选C。

变式演练 在用数学归纳法证明：(n+1)(n+2)…(n+n)=2ⁿ·1·2·3·…·(2n-1)（n∈N*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式为（　　）
$A．2k+1 B．2(2k+1) C．\frac{2k+1}{k+1} D．\frac{2k+3}{k+1}$

答案： B
解析：$\frac{(2k+1)(2k+2)}{k+1}=2(2k+1)，$选B。

例3 用数学归纳法证明：1×2+2×5+…+n(3n-1)=n²(n+1)（n∈N*）．

答案： 证明见解析
解析：（1）n=1时，左边=1×2=2，右边=1²×2=2，成立。
（2）假设n=k时成立，即1×2+…+k(3k-1)=k²(k+1)。n=k+1时，左边=k²(k+1)+(k+1)(3(k+1)-1)=(k+1)(k²+3k+2)=(k+1)²(k+2)，成立。综上得证。