《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

例2 （1）若直线$ l_{1}:x - 2y + 5 = 0 $与直线$ l_{2}:2x + my - 6 = 0 $互相垂直，则实数$ m = $_______.

答案： $1$
$ 1×2 + (-2)m = 0 $，解得$ m = 1 $

（2）已知点$ A(2,2) $和直线$ l:3x + 4y - 20 = 0 $. 求：① 过点$ A $，且和直线$ l $平行的直线方程；② 过点$ A $，且和直线$ l $垂直的直线方程.

答案： ① $ 3x + 4y - 14 = 0 $；② $ 4x - 3y - 2 = 0 $
① 设$ 3x + 4y + c = 0 $，代入$ A $得$ c=-14 $；② 设$ 4x - 3y + d = 0 $，代入$ A $得$ d=-2 $

变式演练 （1）若点$ C $的坐标为$(1,0)$，求边$ AB $上的高所在的直线方程；

答案： $ 3x + y - 3 = 0 $
$ k_{AB}=\dfrac{1}{3} $，高$ k=-3 $，方程$ y=-3(x - 1) $即$ 3x + y - 3 = 0 $

（2）若$ M(1,1) $为边$ AC $的中点，求边$ BC $所在的直线方程.

答案： $ 2x - 5y + 4 = 0 $
$ C(2,1) $，$ k_{BC}=\dfrac{2 - 1}{3 - 2}=1 $，方程$ y - 1 = x - 2 $即$ x - y - 1 = 0 $（注：原答案可能有误，经计算$ C(2,1) $，$ B(3,2) $，$ k=1 $，方程$ x - y - 1 = 0 $）

（3）已知正方形的中心为直线$ x - y + 1 = 0 $和$ 2x + y + 2 = 0 $的交点，正方形一边所在直线方程为$ x + 3y - 2 = 0 $，求其他三边所在直线的方程.

答案： $ x + 3y + 8 = 0 $，$ 3x - y = 0 $，$ 3x - y + 4 = 0 $
中心$(-1,0)$，设对边$ x + 3y + c = 0 $，距离相等得$ c = 8 $；邻边$ 3x - y + d = 0 $，距离相等得$ d = 0 $或$ 4 $