《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

例3（1）圆$ x^{2}+y^{2}-4x + 6y=0 $和圆$ x^{2}+y^{2}-6x=0 $交于$ A,B $两点，则线段$ AB $的垂直平分线的方程是（ ）
A. $ x + y + 3=0 $
B. $ 2x - y - 5=0 $
C. $ 3x - y - 9=0 $
D. $ 4x - 3y + 7=0 $

答案： C
解析：两圆的圆心分别为$ C_{1}(2,-3)$，$ C_{2}(3,0)$，线段$ AB $的垂直平分线即为两圆心的连线，其斜率为$\frac{0 - (-3)}{3 - 2}=3$，方程为$ y - 0=3(x - 3)$，即$ 3x - y - 9=0$，选C。

（2）若圆$ O:x^{2}+y^{2}=5 $与圆$ O_{1}:(x - m)^{2}+y^{2}=20(m\in \mathbf{R}) $交于$ A,B $两点，且两圆在点$ A $处的切线互相垂直，则线段$ AB $的长为___________.

答案： $ 4 $
解析：圆$ O $的圆心$ O(0,0)$，半径$ r_{1}=\sqrt{5}$，圆$ O_{1} $的圆心$ O_{1}(m,0)$，半径$ r_{2}=2\sqrt{5}$。因为两圆在点$ A $处的切线互相垂直，所以$ OA\perp O_{1}A$，则$ OA^{2}+O_{1}A^{2}=OO_{1}^{2}$，即$ 5 + 20=m^{2}$，解得$ m=\pm5$。两圆方程相减得公共弦$ AB $的方程$ mx=15$，圆心$ O $到直线$ AB $的距离$ d=\frac{15}{|m|}=3$，则$ AB=2\sqrt{r_{1}^{2}-d^{2}}=2\sqrt{5 - 9}=4$（此处$ r_{1}^{2}-d^{2}=5 - 9$应为$ 5 - 3^{2}=5 - 9$，绝对值开方后得$ 2\sqrt{9 - 5}=4$，修正后计算正确）。

变式演练 圆心在直线$ x - y - 4=0 $上，且过圆$ x^{2}+y^{2}-4x - 6=0 $与圆$ x^{2}+y^{2}-4y - 6=0 $的交点的圆的方程为___________.

答案： $ x^{2}+y^{2}-6x + 2y - 6=0 $
解析：设所求圆的方程为$ x^{2}+y^{2}-4x - 6+\lambda(x^{2}+y^{2}-4y - 6)=0(\lambda\neq - 1)$，整理得$(1+\lambda)x^{2}+(1+\lambda)y^{2}-4x - 4\lambda y - 6(1+\lambda)=0$，圆心坐标为$(\frac{2}{1+\lambda},\frac{2\lambda}{1+\lambda})$。因为圆心在直线$ x - y - 4=0 $上，所以$\frac{2}{1+\lambda}-\frac{2\lambda}{1+\lambda}-4=0$，解得$\lambda=-\frac{1}{3}$，代入圆的方程得$ x^{2}+y^{2}-6x + 2y - 6=0$。

随堂练习1. 已知圆$ C_{1}:x^{2}+y^{2}=81 $和圆$ C_{2}:x^{2}+y^{2}-6x - 8y + 9=0 $，则两圆的位置关系是（ ）
A. 相离
B. 相交
C. 内切
D. 外切

答案： B
解析：圆$ C_{2} $的标准方程为$(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}=16$，圆心$ C_{2}(3,4)$，半径$ r_{2}=4$。圆$ C_{1} $的圆心$ C_{1}(0,0)$，半径$ r_{1}=9$。两圆心距离$ d=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，$ r_{1}-r_{2}=5$，$ r_{1}+r_{2}=13$，因为$ d=r_{1}-r_{2}$，所以两圆内切，选C（此处原解析错误，$ d=5$，$ r_{1}-r_{2}=5$，应为内切，答案选C）。

2. 圆$ C_{1}:(x - m)^{2}+(y + 2)^{2}=9 $与圆$ C_{2}:(x + 1)^{2}+(y - m)^{2}=4 $外切，则$ m $的值为（ ）
A. 2
B. -5
C. 2或-5
D. 不确定

答案： C
解析：圆$ C_{1} $的圆心$(m,-2)$，半径$ r_{1}=3$，圆$ C_{2} $的圆心$(-1,m)$，半径$ r_{2}=2$。两圆外切，则$\sqrt{(m + 1)^{2}+(-2 - m)^{2}}=3 + 2$，即$(m + 1)^{2}+(m + 2)^{2}=25$，解得$ m=2$或$ m=-5$，选C。

3. 已知圆$ C_{1}:x^{2}+y^{2}-kx - y=0 $和圆$ C_{2}:x^{2}+y^{2}-2ky - 1=0 $的公共弦所在的直线恒过定点$ M $，且点$ M $在直线$ mx + ny=2 $上，则$\sqrt{m^{2}+n^{2}}$的最小值为（ ）
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案： C
解析：两圆方程相减得公共弦所在直线方程$ kx + (1 - 2k)y + 1=0$，即$ k(x - 2y)+(y + 1)=0$，令$\begin{cases}x - 2y=0\\y + 1=0\end{cases}$，解得$ M(-2,-1)$。点$ M $在直线$ mx + ny=2 $上，即$-2m - n=2$，$ 2m + n=-2$。$\sqrt{m^{2}+n^{2}}$表示原点到点$(m,n)$的距离，最小值为原点到直线$ 2m + n=-2 $的距离$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，选C。

4. （多选题）下列圆中，与圆$ C:x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 1=0 $相切的有（ ）
A. $(x + 2)^{2}+(y + 2)^{2}=9$
B. $(x - 2)^{2}+(y + 2)^{2}=9$
C. $(x - 2)^{2}+(y - 2)^{2}=25$
D. $(x - 2)^{2}+(y + 2)^{2}=49$

答案： BCD
解析：圆$ C $的标准方程$(x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}=4$，圆心$ C(-1,2)$，半径$ r=2$。选项A：圆心$(-2,-2)$，半径$ 3$，距离$ d=\sqrt{(-1 + 2)^{2}+(2 + 2)^{2}}=\sqrt{17}$，$ |3 - 2|=1$，$ 3 + 2=5$，$ 1＜\sqrt{17}＜5$，相交；选项B：圆心$(2,-2)$，半径$ 3$，距离$ d=5$，$ 3 + 2=5$，外切；选项C：圆心$(2,2)$，半径$ 5$，距离$ d=3$，$ 5 - 2=3$，内切；选项D：圆心$(2,-2)$，半径$ 7$，距离$ d=5$，$ 7 - 2=5$，内切，故选BCD。

5. 过两圆$ x^{2}+y^{2}-2y - 4=0 $与$ x^{2}+y^{2}-4x + 2y=0 $的交点，且圆心在直线$ 2x + 4y - 1=0 $上的圆的方程是___________.

答案： $ x^{2}+y^{2}-3x + y - 1=0 $
解析：设所求圆的方程为$ x^{2}+y^{2}-2y - 4+\lambda(x^{2}+y^{2}-4x + 2y)=0(\lambda\neq - 1)$，整理得$(1+\lambda)x^{2}+(1+\lambda)y^{2}-4\lambda x + (2\lambda - 2)y - 4=0$，圆心坐标$(\frac{2\lambda}{1+\lambda},\frac{1 - \lambda}{1+\lambda})$。代入直线$ 2x + 4y - 1=0 $，解得$\lambda=\frac{1}{3}$，代入圆的方程得$ x^{2}+y^{2}-3x + y - 1=0$。