《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

1. 已知（ ）$,5,9$成等差数列,则括号内的数字是（ ）
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

答案： B
解析：设括号内数为$x$，则$2×5=x + 9$，$x=1$。

2. 在等差数列$\{ a_{n}\} $中,已知$a_{1}=2$,$a_{2}+a_{3}+a_{4}=24$,则$a_{4}+a_{5}+a_{6}=$（ ）
A. $38$
B. $39$
C. $41$
D. $42$

答案： D
解析：$a_{2}+a_{3}+a_{4}=3a_{3}=24$，$a_{3}=8$，公差$d=a_{3}-a_{1}=8 - 2=6$？$a_{1}=2$，$a_{3}=a_{1}+2d=8$，$d=3$，$a_{4}+a_{5}+a_{6}=3a_{5}=3(a_{1}+4d)=3(2 + 12)=42$。

3. 已知$m$和$2n$的等差中项是$4$,$2m$和$n$的等差中项是$5$,则$m$和$n$的等差中项是（ ）
A. $2$
B. $3$
C. $6$
D. $9$

答案： B
解析：由$\dfrac{m + 2n}{2}=4$，$\dfrac{2m + n}{2}=5$，得$m + 2n=8$，$2m + n=10$，相加得$3m + 3n=18$，$m + n=6$，等差中项为$3$。

4.（多选题）下列数列中,是等差数列的有（ ）
A. $1,4,7,10$
B. $\lg 2,\lg 4,\lg 8,\lg 16$
C. $2^{5},2^{4},2^{3},2^{2}$
D. $10,8,6,4,2$

答案： ABD
解析：A选项公差3；B选项$\lg 4 - \lg 2=\lg 2$，公差$\lg 2$；C选项不是；D选项公差-2。

5. 已知数列$\{ a_{n}\} $满足$a_{n+1}^{2}=a_{n}^{2}+4$,且$a_{1}=1$,$a_{n}＞0$,则$a_{3}=$______.

答案： 3
解析：$a_{n}^{2}$是等差数列，公差4，$a_{n}^{2}=1 + 4(n - 1)=4n - 3$，$a_{3}^{2}=9$，$a_{3}=3$。

变式演练 已知$\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$成等差数列,求证:$\dfrac{b + c}{a},\dfrac{a + c}{b},\dfrac{a + b}{c}$也成等差数列.

答案： 证明见解析
解析：由$\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}$，得$2ac=ab + bc$。$\dfrac{b + c}{a}+\dfrac{a + b}{c}=\dfrac{c(b + c)+a(a + b)}{ac}=\dfrac{bc + c^{2}+a^{2}+ab}{ac}=\dfrac{a^{2}+c^{2}+ab + bc}{ac}$，又$2×\dfrac{a + c}{b}=\dfrac{2(a + c)}{b}=\dfrac{2ac + 2bc}{ac}=\dfrac{ab + bc + 2bc}{ac}=\dfrac{ab + 3bc}{ac}$，不对，应为$\dfrac{b + c}{a}+\dfrac{a + b}{c}=\dfrac{(b + c)c + (a + b)a}{ac}=\dfrac{bc + c^{2}+a^{2}+ab}{ac}=\dfrac{a^{2}+c^{2}+b(a + c)}{ac}$，由$2ac=ab + bc$，得$b(a + c)=2ac$，则上式$=\dfrac{a^{2}+c^{2}+2ac}{ac}=\dfrac{(a + c)^{2}}{ac}$，$2×\dfrac{a + c}{b}=2×\dfrac{a + c}{\dfrac{2ac}{a + c}}=\dfrac{(a + c)^{2}}{ac}$，故成等差数列。