《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

变式演练 （1）已知有$A(5,-1)$，$B(1,1)$，$C(2,3)$三点，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 直角三角形
解析：计算斜率$k_{AB}=-\frac{1}{2}$，$k_{BC}=2$。$k_{AB}\cdot k_{BC}=-1$，$AB\perp BC$，故为直角三角形。

（2）试判断下列各组中的两直线是否垂直.
① 直线$l_{1}$的斜率为$-10$，直线$l_{2}$过点$A(10,2)$，$B(20,3)$.
② 直线$l_{1}$过点$A(3,4)$，$B(3,7)$，直线$l_{2}$过点$P(-2,4)$，$Q(2,4)$.
③ 直线$l_{1}$的斜率为$\frac{1}{3}$，直线$l_{2}$与直线$2x + 3y + 1 = 0$平行.

答案： ① 不垂直，解析：$k_{2}=\frac{1}{10}$，$k_{1}k_{2}=-1$，垂直。
② 垂直，解析：$l_{1}$垂直$x$轴，$l_{2}$平行$x$轴，垂直。
③ 不垂直，解析：$k_{2}=-\frac{2}{3}$，$k_{1}k_{2}=-\frac{2}{9}\neq-1$。

例2（2025·江苏南通市海门中学期末）直线$l$过点$(-1,2)$，且与直线$2x - 3y + 1 = 0$垂直，则$l$的方程为（ ）
A. $3x + 2y - 1 = 0$
B. $3x + 2y + 7 = 0$
C. $2x - 3y + 5 = 0$
D. $2x - 3y + 8 = 0$

答案： A
解析：斜率$k=-\frac{3}{2}$，点斜式$y - 2=-\frac{3}{2}(x + 1)$，化为$3x + 2y - 1 = 0$。

变式演练 （1）与直线$y = 2x + 1$垂直，且在$y$轴上的截距为4的直线的方程是（ ）
A. $y=\frac{1}{2}x + 4$
B. $y = 2x + 4$
C. $y=-2x + 4$
D. $y=-\frac{1}{2}x + 4$

答案： D
解析：斜率$-\frac{1}{2}$，截距4，方程$y=-\frac{1}{2}x + 4$。

（2）已知$\triangle ABC$的三个顶点分别是$A(-5,0)$，$B(3,-3)$，$C(0,2)$，则边$BC$上的高所在直线的方程为__________.

答案： $3x - 5y + 15 = 0$
解析：$k_{BC}=-\frac{5}{3}$，高的斜率$\frac{3}{5}$。过$A(-5,0)$，方程$y=\frac{3}{5}(x + 5)$，即$3x - 5y + 15 = 0$。

例3 （1）已知直线$l$的倾斜角为$\frac{3\pi}{4}$，直线$l_{1}$过点$A(3,2)$和$B(a,-1)$，且直线$l$与$l_{1}$垂直，则实数$a$的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 6
D. 0或6

答案： C
解析：$l$斜率$-1$，$l_{1}$斜率$1$。$\frac{-3}{a - 3}=1$，解得$a=0$。

变式演练（链接教材）在路边安装路灯，路宽23 m，灯杆长2.5 m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到0.01 m）？
参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$.

答案： 13.52 m
解析：以灯柱底部为原点，灯柱为y轴建立坐标系。灯杆端点坐标为$(2.5\sin60°, h + 2.5\cos60°)=(\frac{5\sqrt{3}}{4}, h + \frac{5}{4})$。灯罩轴线斜率为$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，方程为$y - (h + \frac{5}{4})=\frac{\sqrt{3}}{3}(x - \frac{5\sqrt{3}}{4})$。道路中线为$x = 11.5$，代入得$0 - (h + \frac{5}{4})=\frac{\sqrt{3}}{3}(11.5 - \frac{5\sqrt{3}}{4})$，解得$h\approx13.52$ m。