《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

变式演练 无论m为何值，直线l：$(m + 1)x - y - 7m - 4 = 0$恒过一定点P，求点P的坐标.

答案： （7，3）
解析：整理为$m(x - 7) + (x - y - 4) = 0$，联立$\begin{cases}x - 7 = 0\\x - y - 4 = 0\end{cases}$，解得$x = 7$，$y = 3$，所以P（7，3）。

随堂练习
1. 直线$x + 2y - 2 = 0$与直线$2x + y - 3 = 0$的交点坐标是（ ）
A. （4，1）
B. （1，4）
C. $(\frac{4}{3},\frac{1}{3})$
D. $(\frac{1}{3},\frac{4}{3})$

答案： C
解析：联立$\begin{cases}x + 2y = 2\\2x + y = 3\end{cases}$，解得$x = \frac{4}{3}$，$y = \frac{1}{3}$，选C。

2. 若（-1，-2）为直线$2x + 3y + a = 0$与直线$bx - y - 1 = 0$的交点，则ab的值为（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

答案： B
解析：将（-1，-2）代入$2x + 3y + a = 0$：$-2 - 6 + a = 0\Rightarrow a = 8$；代入$bx - y - 1 = 0$：$-b + 2 - 1 = 0\Rightarrow b = 1$，所以$ab = 8×1 = 8$，选B。

3. （多选题）已知三条直线$y = 2x$，$x + y = 3$，$mx + ny + 5 = 0$交于同一点，则坐标（m，n）可能是（ ）
A. （1，-3）
B. （3，-4）
C. （-3，1）
D. （-4，3）

答案： ABD
解析：联立$\begin{cases}y = 2x\\x + y = 3\end{cases}$，解得$x = 1$，$y = 2$。代入$mx + ny + 5 = 0\Rightarrow m + 2n = -5$。
A. $1 + 2×(-3)=-5$，正确；B. $3 + 2×(-4)=-5$，正确；C. $-3 + 2×1=-1\neq -5$，错误；D. $-4 + 2×3=2\neq -5$，错误（原选项D：-4 + 2×3=2≠-5，所以D错误，正确选项为AB）。

4. 过两直线$l_1:x - 2y + 4 = 0$和$l_2:x + y - 2 = 0$的交点P，且与直线$l_3:3x - 4y + 5 = 0$垂直的直线l的方程为__________.

答案： $4x + 3y - 6 = 0$
解析：联立$l_1$与$l_2$：$\begin{cases}x - 2y = -4\\x + y = 2\end{cases}$，解得$x = 0$，$y = 2$。$l_3$斜率$\frac{3}{4}$，所求直线斜率$-\frac{4}{3}$，方程$y - 2 = -\frac{4}{3}x\Rightarrow 4x + 3y - 6 = 0$。

5. 已知直线$(a - 2)y = (3a - 1)x - 1$，求证：无论a为何值，直线总过第一象限.

答案： 证明：将直线方程整理为$a(y - 3x) + (-2y + x + 1) = 0$，联立$\begin{cases}y - 3x = 0\\x - 2y + 1 = 0\end{cases}$，解得$x = \frac{1}{5}$，$y = \frac{3}{5}$，定点$(\frac{1}{5},\frac{3}{5})$在第一象限，所以直线总过第一象限。