《2025年江海名师新高考课时练高中数学选择性必修第一册苏教版》

1. 在数学归纳法的两步中，第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)(k∈N*，k≥n₀)为真，则______也为真.

答案： P(k+1)
解析：数学归纳法第二步是若n=k时命题成立，则n=k+1时命题成立，即P(k)为真则P(k+1)为真，故填P(k+1)。

2. 已知1+3+5+…+(2n-1)=n²(n∈N*)，则当n=k+1时应得到等式______.

答案： 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²
解析：n=k+1时，左边增加一项(2(k+1)-1)=2k+1，等式为1+3+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²，故填1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²。

3. 用数学归纳法证明不等式2ⁿ＞(n+1)²(n∈N*)时，初始值n₀应等于______.

答案： 6
解析：n=1时，2＞4不成立；n=2时，4＞9不成立；n=3时，8＞16不成立；n=4时，16＞25不成立；n=5时，32＞36不成立；n=6时，64＞49成立，故n₀=6。

变式演练 平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法给出证明.

答案： f(n)=n(n-1)
证明：（1）当n=2时，两个圆相交于2点，f
(2)=2=2×1，成立。
（2）假设当n=k(k≥2)时，f(k)=k(k-1)。当n=k+1时，第k+1个圆与前k个圆各交于2点，共增加2k个交点，所以f(k+1)=f(k)+2k=k(k-1)+2k=k(k+1)=(k+1)k，成立。
由（1）（2）知，f(n)=n(n-1)。