《2025年导学与检测八年级数学上册人教版》

例2 在四边形 $ABCD$ 中,$AB = BC = CD = DA$,$\angle B = \angle D = 60^{\circ}$,连接 $AC$.
(1)如图(1),点 $E$,$F$ 分别在边 $BC$,$CD$ 上,$BE = CF$.
求证：① $\triangle ABE\cong ACF$；② $\triangle AEF$ 是等边三角形.
(2)如图(2),若点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上,在直线 $CD$ 上是否存在点 $F$,使 $\triangle AEF$ 是等边三角形？证明你的结论.

答案： 分析：先利用有一个角是 $60^{\circ}$ 的等腰三角形是等边三角形判定 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ACD$ 都是等边三角形,得到 $AB = AC$,$\angle B = \angle ACF$,进一步得到两三角形全等；再利用全等三角形的性质,得到相关的线段和角相等,即可证得结论.
证明：
(1)① $\because AB = BC$,$\angle B = 60^{\circ}$,
$\therefore\triangle ABC$ 是等边三角形.
同理可得 $\triangle ACD$ 是等边三角形.
$\because AB = AC$,$\angle B = \angle ACF = 60^{\circ}$,$BE = CF$,
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle ACF(SAS)$.
② 由 $\triangle ABE\cong\triangle ACF$ 得 $AE = AF$,$\angle BAE = \angle CAF$,
$\because\angle BAE + \angle CAE = 60^{\circ}$,
$\therefore\angle CAF + \angle CAE = 60^{\circ}$,
即 $\angle EAF = 60^{\circ}$,
$\therefore\triangle AEF$ 是等边三角形.
(2)存在. 证明：当 $BE = CF$ 时,与
(1)同理证 $\triangle ABE\cong\triangle ACF$,
$\therefore AE = AF$,$\angle BAE = \angle CAF$,
$\therefore\angle CAF - \angle CAE = \angle BAE - \angle CAE$,
$\therefore\angle EAF = \angle BAC = 60^{\circ}$,
$\therefore\triangle AEF$ 是等边三角形.
点拨：解答该题时要明确题目中的条件,逐步得出结论,培养逻辑推理能力. 可用类比的思想方法解决位置改变时结论的存在性问题.