《2025年导学与检测八年级数学上册人教版》

12. 如图,已知点M,N和$\angle AOB$,求作一点P,使P到点M,N的距离相等,且到$\angle AOB$的两边的距离相等.

答案： 1. 作线段MN的垂直平分线：分别以点M、N为圆心，大于1/2MN长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线l；
2. 作∠AOB的平分线：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于两点，分别以这两点为圆心，大于1/2两点间距离长为半径画弧，两弧交于一点，过点O与该交点作射线OC；
3. 直线l与射线OC的交点即为所求点P。

13. 如图所示,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,分别以点A,B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧分别相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,交AB于点F,连接AD.若$CD = DF$,则$\angle B$的度数______30°.

答案： 30°

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 6$,$BC = 7$,$AC = 4$,直线m是$\triangle ABC$中BC边的垂直平分线,P是直线m上的一动点,则$\triangle APC$的周长的最小值为10.

答案： 10

15. 如图,线段AB,BC的垂直平分线$l_1$,$l_2$相交于点O,若$\angle 1 = 39^{\circ}$,则$\angle AOC= $78°.

答案： 78°

16. 如图,已知E是$\angle AOB$的平分线上的一点,$EC\perp OA$,$ED\perp OB$,垂足分别为C,D.求证：
(1)$\angle ECD= \angle EDC$；
(2)OE是CD的垂直平分线.

答案：
(1)
∵E是∠AOB的平分线上一点，
∴∠BOE=∠AOE.
∵EC⊥OA,ED⊥OB,EC=ED.
∴∠ECD=∠EDC.
(2)设OE交CD于F,易证△EOD≌△EOC(AAS),
∴OD=OC,易证△DOF≌△COF(SAS).
∴∠OFD=∠OFC=90°.
∴OE⊥DC.
∴OE是CD的垂直平分线.