《2025年导学与检测八年级数学上册人教版》

 例详解
例1 如图是荡秋千的示意图.

秋千的转轴O到地面的距离OA = 3m.乐乐在荡秋千的过程中,当她摆动到最高点C时,过点C作CE⊥OA于点E.此时点C到OA的距离CE = 2m.
问题解决
当乐乐从C处摆到B处时,则有BO⊥CO,过点B作BD⊥OA于点D.
(1) 请你直接判断OB与OC是否相等；
(2) 求证：∠BOD = ∠OCE；
(3) 求OD的长.

答案： 分析：
(1) 由OB与OC表示相同的秋千绳,可知OB = OC.
(2) 由CE⊥OA于点E,BO⊥CO于点O,BD⊥OA于点D,得∠BDO = ∠OEC = ∠BOC = 90°,所以∠BOD + ∠COE = 90°,∠OCE + ∠COE = 90°,则∠BOD = ∠OCE.
(3) 由∠BOD = ∠OCE,∠BDO = ∠CEC,OB = CO,根据AAS证明△BOD ≌ △OCE,则OD = CE = 2m,所以OD的长为2m.
(1) 解：OB = OC.
理由：
∵OB与OC表示相同的秋千绳,
∴OB = OC.
(2) 证明：
∵CE⊥OA于点E,BO⊥CO于点O,BD⊥OA于点D,
∴∠BDO = ∠OEC = ∠BOC = 90°,
∴∠BOD + ∠COE = 90°,∠OCE + ∠COE = 90°,
∴∠BOD = ∠OCE.
(3) 解：在△BOD和△OCE中,
$\begin{cases}∠BOD = ∠OCE, \\∠BDO = ∠OEC, \\OB = CO,\end{cases} $
$\therefore △BOD ≌ △OCE(AAS),$
$\therefore OD = CE = 2m,$
∴OD的长为2m.
点拨：此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识.

 例2 如图所示,Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,AD⊥CD于D,BF⊥CD于F,AB交CD于E.求证：AD = BF - DF.

答案： 分析：要证AD = BF - DF,观察图形可得CF = CD - DF,只需证明CF = AD,CD = BF即可,也就是要证明△CFB ≌ △ADC.由已知BC = AC,∠CFB = ∠ADC = 90°,只要再证明有一个锐角对应相等即可.由BF⊥CD,∠ACB = 90°,易证得∠CBF = ∠ACD,问题便得到解决.
证明：
∵∠ACB = 90°,BF⊥CD,
∴∠ACD + ∠BCD = 90°,∠CBF + ∠BCD = 90°.
∴∠CBF = ∠ACD(同角的余角相等).
又
∵AD⊥CD,
∴∠CFB = ∠ADC = 90°.
在△CFB和△ADC中,
$\begin{cases}∠CBF = ∠ACD, \\∠CFB = ∠ADC, \\CB = AC,\end{cases} $
$\therefore △CFB ≌ △ADC(AAS).$
$\therefore CF = AD,BF = CD(全等三角形的对应边相等).$
又
∵CF = CD - DF,
∴AD = BF - DF.
点拨：由已知条件AC = BC和垂直关系可得,AC,BC为两个直角三角形的斜边,还需要一对角相等即可用“AAS”证三角形全等；可根据条件用余角性质转换角度证明角相等.