《2025年导学与检测八年级数学上册人教版》

例3 计算：$[(2x^{2})^{3}-6x^{3}(x^{3}+2x^{2}+x)]÷(-x)^{4}$.

答案： 分析：按照整式的混合运算法则,先算乘方,然后按照单项式乘多项式的运算法则,先把这个单项式都分别乘多项式的每一项,然后再把所得的积相加减,去掉括号后,再算除法,按照多项式除以单项式,先把多项式的每一项都分别除以这个单项式,然后再把所得的商相减即可.
解：原式$=(8x^{6}-6x^{6}-12x^{5}-6x^{4})÷ x^{4}$
$=(2x^{6}-12x^{5}-6x^{4})÷ x^{4}$
$=2x^{2}-12x - 6$.
总结：化归思想在本章中应用也比较多,通常将要解决的问题转化为另一个较为容易的问题或已经解决的问题.如本章中,多项式乘多项式转化为单项式乘多项式,再转化为单项式乘单项式,从而最后转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法运算,实际问题转化为数学问题等.

例4 计算.
(1) $(2x + 1)(-2x + 1)$；
(2) $(3x + 1)^{2}(3x - 1)^{2}$；
(3) $(x + 1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)(x - 1)$.

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(2x + 1)(-2x + 1)\\=&1^{2}-(2x)^{2}\\=&1 - 4x^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(3x + 1)^{2}(3x - 1)^{2}\\=&[(3x + 1)(3x - 1)]^{2}\\=&(9x^{2}-1)^{2}\\=&(9x^{2})^{2}-2×9x^{2}×1 + 1^{2}\\=&81x^{4}-18x^{2}+1\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(x + 1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)(x - 1)\\=&(x + 1)(x - 1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)\\=&(x^{2}-1)(x^{2}+1)(x^{4}+1)\\=&(x^{4}-1)(x^{4}+1)\\=&x^{8}-1\end{aligned}$

<题目>例5 如图(1)所示的是一个长为$2m$,宽为$2n$的长方形,沿图中虚线用剪刀将其均分成四个完全相同的小长方形,然后按图(2)的形状拼图.

(1)图(2)中的图形阴影部分的边长为$m - n$(用含$m$,$n$的代数式表示)；
(2)请你用两种不同的方法分别求图(2)中阴影部分的面积.
方法1：$(m - n)^{2}$；
方法2：$(m + n)^{2}-4mn$；
(3)观察图(2),请写出代数式$(m + n)^{2}$,$(m - n)^{2}$,$4mn$之间的关系式：$(m + n)^{2}-4mn= (m - n)^{2}$.

答案：
(1) m−n
(2) 方法1：(m−n)2
方法2：(m+n)2−4mn
(3) (m+n)2−4mn=(m−n)2
分析：
(1)根据小长方形的长、宽分别为$m$,$n$即可得出答案.阴影部分的边长$=m - n$.
(2)方法1：直接利用正方形面积$=边长×$边长求解,阴影部分的面积$=(m - n)(m - n)= (m - n)^{2}$；方法2：大正方形的面积减去大长方形的面积,大正方形的面积$=(m + n)^{2}$,大长方形的面积$=4mn$,则阴影部分的面积$=(m + n)^{2}-4mn$.
(3)根据方法1,2的表达式即可得出三者的关系式.由
(2)可得$(m + n)^{2}-4mn= (m - n)^{2}$.
答案：
(1) $m - n$ 
(2) $(m - n)^{2}$ $(m + n)^{2}-4mn$ 
(3) $(m + n)^{2}-4mn= (m - n)^{2}$
总结：本类题考查了完全平方公式之间的关系和几何背景,难度较大,关键是仔细审图,得出阴影部分面积的不同表示方法.