《2025年导学与检测八年级数学上册人教版》

20. 如图(1)所示,边长为 $a$ 的正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形,如图(2)所示是由图(1)中阴影部分拼成的一个长方形.
(1)设图(1)中阴影部分面积为 $S_{1}$,图(2)中阴影部分面积为 $S_{2}$. 请直接用含 $a$,$b$ 的代数式表示 $S_{1}$,$S_{2}$.
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.
(3)试利用这个公式计算：$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1) + 1$.

答案： （1）$S_{1}=a^{2}-b^{2},S_{2}=(a+b)(a-b)$。（2）$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$。（3）原式$=(2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)+1=(2^{2}-1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)+1=(2^{4}-1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)+1=(2^{8}-1)(2^{8}+1)+1=2^{16}$。

21. 阅读材料：把形如 $ax^{2} + bx + c$ 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法,配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即 $a^{2} ÷ 2ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$.
例如：$(x - 1)^{2} + 3$,$(x - 2)^{2} + 2x$,$(\frac{1}{2}x - 2)^{2} + \frac{3}{4}x^{2}$ 是 $x^{2} - 2x + 4$ 的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)将 $a^{2} + ab + b^{2}$ 配方；(至少两种形式)
(2)已知 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - 3b - 2c + 4 = 0$,求 $a + b + c$ 的值.

答案： （1）示例：$a^{2}+ab+b^{2}=(a+b)^{2}-ab$，$a^{2}+ab+b^{2}=(a+\frac{1}{2}b)^{2}+\frac{3}{4}b^{2}$。（2）$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-3b-2c+4=0$，$=(a^{2}-ab+\frac{1}{4}b^{2})+(\frac{3}{4}b^{2}-3b+3)+(c^{2}-2c+1)=(a^{2}-ab+\frac{1}{4}b^{2})+\frac{3}{4}(b^{2}-4b+4)+(c^{2}-2c+1)=(a-\frac{1}{2}b)^{2}+\frac{3}{4}(b-2)^{2}+(c-1)^{2}=0$，从而有$a-\frac{1}{2}b=0,b-2=0,c-1=0$，即$a=1,b=2,c=1$，所以$a+b+c=4$。

1. 下列运算正确的是(D)。
A.$3a + 2a = 5a^{2}$
B.$3a^{2} - 2a = a$
C.$(-a)^{3} \cdot (-a^{2}) = -a^{5}$
D.$(2a^{3}b^{2} - 4ab^{4}) ÷ (-2ab^{2}) = 2b^{2} - a^{2}$

答案： D

2. 已知$9^{m} = 3$,$27^{n} = 4$,则$3^{2m + 3n} = ($D)。
A.1
B.6
C.7
D.12

答案： D

3. $(-a + 1)(a + 1)(a^{2} + 1)$等于(D)。
A.$a^{4} - 1$
B.$a^{4} + 1$
C.$a^{4} + 2a^{2} + 1$
D.$1 - a^{4}$

答案： D