《2025年学习探究诊断八年级数学上册人教版》

14. 如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$D是斜边BC$的中点,点$E$,$F分别在线段AB$,$AC$上,且$\angle EDF = 90^{\circ}$.
(1)求证：$\triangle DEF$为等腰直角三角形；
(2)如果点$E在AB$的延长线上,点$F在射线CA上且保持\angle EDF = 90^{\circ}$,那么$\triangle DEF$还是等腰直角三角形吗？请在图2中补全图形,写出你的猜想,并证明.

答案：
(1)
连接$AD$，
$\because AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$D$是$BC$中点，
$\therefore AD = BD = DC$，$\angle B = \angle C = \angle BAD = \angle CAD = 45^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}=\angle EDF$，
$\therefore \angle EDA+\angle ADF = \angle ADF+\angle FDC$，
$\therefore \angle EDA=\angle FDC$，
在$\triangle AED$和$\triangle CFD$中，
$\begin{cases}\angle EAD = \angle FCD\\AD = CD\\\angle EDA=\angle FDC\end{cases}$
$\therefore \triangle AED\cong\triangle CFD(ASA)$，
$\therefore DE = DF$，
$\because \angle EDF = 90^{\circ}$，
$\therefore \triangle DEF$是等腰直角三角形。
(2)
补全图形（将$E$点补在$AB$延长线上，$F$点补在$CA$延长线上，连接$ED$并延长与$FD$交于$F$点），$\triangle DEF$还是等腰直角三角形。
证明：
连接$AD$，
$\because AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$D$是$BC$中点，
$\therefore AD\bot BC$，$AD = DB = DC$，$\angle DAC=\angle ABC = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle DAE=\angle DCF = 135^{\circ}$，
$\because \angle EDF = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EDA+\angle ADF = \angle ADF+\angle FDC$，
$\therefore \angle EDA=\angle FDC$，
在$\triangle AED$和$\triangle CFD$中，
$\begin{cases}\angle EAD = \angle FCD\\AD = CD\\\angle EDA=\angle FDC\end{cases}$
$\therefore \triangle AED\cong\triangle CFD(ASA)$，
$\therefore DE = DF$，
$\because \angle EDF = 90^{\circ}$，
$\therefore \triangle DEF$是等腰直角三角形。