《2025年学习探究诊断八年级数学上册人教版》

9. 如图,已知点A,B在直线a上,点C,D,E在直线b上. 以点A,B,C,D,E中的任意三点作为三角形的顶点,可以组成的三角形共有9个.

答案： 9.

10. 如图,由12个边长为1的小正方形拼成一个长方形,点A,B,C,D,E分别在小正方形的顶点上,过其中任意三点画三角形,一共可以画10个三角形,其中△ADE的面积为$\frac{5}{2}$.

答案： 10；$\frac{5}{2}$.

11. 如图,在△ABC中,$A_{1},A_{2},A_{3},…,A_{n}$为AC边上不同的n个点,首先连接$BA_{1}$,图中出现了3个不同的三角形,再连接$BA_{2}$,图中便有6个不同的三角形……

(1)完成下表：
|连接个数|1|2|3|4|5|6|
|出现三角形个数|3|6|10|15|21|28|

(2)若出现了45个三角形,则共连接了多少个点？
8个点
(3)若一直连接到$A_{n}$,则图中共有$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$个三角形.

答案： （1）
连接个数|1|2|3|4|5|6|
|出现三角形个数|3|6|10|15|21|28|
（2）8个点；
（3）$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$.

12. (1)如图1,图中共有三角形10个；如图2,若增加一条线,则图中共有三角形24个；
(2)如图3,若增加到10条线,请你求出图中的三角形的个数.

（2）当增加2条线时，图形在图2的基础上增加10个三角形和左下角部分增加2个，共计$3×10+4×(1+2)=42$个，
∵增加0条线时，三角形的个数为10个，
增加1条线时，三角形的个数为24个，$24=2×10+4$，
增加2条线时，三角形的个数为42个，$42=3×10+4×(1+2)$，
……
∴增加10条线时，三角形的个数为$11×10+4×(1+2+·s+10)=330$个.

答案： （1）10；24.
（2）当增加2条线时，图形在图2的基础上增加10个三角形和左下角部分增加2个，共计$3×10+4×(1+2)=42$个，
∵增加0条线时，三角形的个数为10个，
增加1条线时，三角形的个数为24个，$24=2×10+4$，
增加2条线时，三角形的个数为42个，$42=3×10+4×(1+2)$，
……
∴增加10条线时，三角形的个数为$11×10+4×(1+2+\cdots+10)=330$个.